DESCRIPTION DU PRODUIT


I. Introduction

II. Structure du programme

III. Approche numérique

  1. Discrétisation spatiale
  2. Discrétisation temporelle

IV. Particularités du produit MAD_1

  1. Conditions initiales
  2. Conditions aux limites
  3. Pas de sauvegarde des données


I. Introduction

De nombreux problèmes d'écoulements et de transferts rencontrés dans les problèmes de mécanique des fluides industriels, environnementaux, ou géophysiques, peuvent être ramenés à un problème d'advection-diffusion.

Les phénomènes qui peuvent être modélisés sous cette forme générique sont :

MAD_0 est un code de calcul modélisant l'équation d'advection-diffusion monodimensionnelle :

d(teta)/dt + V d(teta)/dx = D d2(teta)/dx2

où V représente la vitesse d'advection

et D représente le coefficient de difffusion


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II. Structure du programme

Le programme résoud une équation du type A teta = B où A est une matrice tridiagonale et B est un vecteur dans lequel sont stockés les valeurs de teta à l'instant d'avant et les conditions aux limites.

Le programme est constitué d'un programme principal et de deux subroutines INITIAL et TRIDIAG. La subroutine INITIAL initialise les valeurs dans A et B. La subroutine TRIDIAG permet de résoudre l'équation.

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III. Approche numérique

La méthode de discrétisation utilisée est la méthode des différences finies.

L'opérateur de diffusion s'écrit alors :

(D d2(teta)/dx2)i = D (tetai+1 - 2* tetai + tetai-1)/(dx)2

L'opérateur d'advection s'écrit :

(V d(teta)/dx)i = V((1-alpha)(tetai + 1 - tetai)/dx + alpha(tetai - tetai-1)/dx)

Un paramètre de pondération spatiale alpha permet de spécifier le degré de décentrage spatial dans la discrétisation de l'opérateur d'advection :

Pour la discrétisation temporelle, on utilise la méthode d'Euler à un pas (pondérée).

L'équation discrétisée en temps devient, si R désigne l'opérateur différentiel spatial

R = -V d/dx + D d2/dx2

(tetan+1 - tetan)/dt = sigma (R(teta)n+1 + (1 - sigma)(R(teta)n)

sigma représente un paramètre de pondération temporelle compris entre 0 et 1, qui permet de spécifier le degré d'implicitation du schéma.

Il existe trois grandes classes de schémas temporels :


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IV. Particularités du produit MAD_1

La condition initiale proposée dans MAD_0 était une condition en échelon. Nous l'avons modifiée en une condition sinusoïdale de la forme 1 - sin(3.14*x/2L) où L représente la longueur totale du domaine. Nous avons veillé dans le changement de cette condition à ce que notre condition initiale soit compatible avec les conditions aux limites.

Dans MAD_1, les conditions aux limites sont de type mixte, dites conditions de Robin.

A l'entrée, la condition est : a teta+b d(teta)/dx = K(t)
A la sortie, la condition est : c teta+d d(teta)/dx = M(t)

où a,b,c et d sont des constantes

et K(t) et M(t) sont des fonctions de t.

Un pas de sauvegarde permet de sauver les résultats pour différents instants. Il est ainsi possible de connaître et de tracer (sur xmgr) les différentes courbes de teta à des instants donnés sans avoir à exécuter à nouveau le programme.


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