RAYLEIGH-BENARD


OBJECTIFS

RAPPEL THEORIQUE SUR LA CONVECTION DE RAYLEIGH-BENARD

Approximation de Boussinesq

Théorie de Rayleigh-Bénard

Bases de l'étude d'instabilité

UN SYSTEME DYNAMIQUE INSTABLE

Détermination du nombre de Rayleigh critique ( /expérience et /Bes Phoenics )

Calcul instationnaire / stationnaire

Conditions initiales

CONCLUSION


OBJECTIFS

Cette partie sur la convection de Rayleigh-Bénard a pour but

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RAPPEL THEORIQUE SUR LA CONVECTION DE RAYLEIGH-BENARD

APPROXIMATION DE BOUSSINESQ

Pour les flux de convection naturels, on peut accélérer la vitesse de convergence grâce au modèle de Boussinesq en définissant la masse volumique comme fonction de la température. Ce modèle traite la masse volumique comme constante dans toutes les quations résolues sauf pour le terme de flottabilité dans l'équation suivante :

Cette équation est obtenue en utilisant l'approximation de Boussinesq suivante pour éliminer rho du terme de flottabilité:

rho=rho0(1-Beta.DT)

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THEORIE DE RAYLEIGH BENARD

On cherche par exemple à étudier la stabilité d'un fluide contenu entre 2 plaques planes horizontales d'extension infinie maintenues à des températures différentes. Un fluide pesant inséré entre ces deux plaques peut être le siège, sous certaines conditions, de mouvements thermo-convectifs. En effet, en fonction du gradient de température imposé, la stratification thermique est soit inconditionnellement stable soit conditionnellement stable. En situation conditionnellement stable, on peut observer l'instabilité de Rayleigh-Bénard.

Inconditionnellement stable

Si la paroi supérieure est à une température plus importante que la paroi inférieure, la stratification thermique est inconditionnellement stable. En effet, dans ce cas, une particule déplacée vers le haut se trouvera dans une zone où la masse volumique du fluide environnant est plus faible (le fluide "lourd" est en-dessous du fluide "léger"). La force d'Archimède "globale" est stabilisante, elle ramène la molécule à sa position d'origine. On observe une répartition linéaire de température.

Conditionnellement stable

Si la paroi supérieure est à une température plus faible que la paroi inférieure (le fluide "lourd" est au-dessus du fluide "léger"), l'expérience montre qu'au-delà d'une valeur critique de l'écart de température, des rouleaux contrarotatifs prennent naissance au sein du fluide. C'est l'instabilité de Rayleigh-Bénard. Au-delà de ce Rayleigh critique une particule déplacée vers le haut se trouve dans une région où la masse volumique du fluide environnant est plus grande. La poussée d'Archimède globale est cette fois-ci destabilisante. La force de traînée et les mécanisme de diffusion thermique stabilisants ne sont pas suffisamment importants. Le déséquilibre de position de la particule est accru. La stratification thermique est alors instable.

Le nombre de Rayleigh

Le paramètre adimensionnel qui permet de quantifier l'apparition d'un régime instable est le nombre de Rayleigh qui représente le rapport des forces d'Archimède sur les forces visqueuses:

                         Ra = g.(alpha).(deltaT).h3 / (nu.a)                              

  • g : accélération de la pesanteur
  • alpha : coefficient de dilatation thermique du fluide
  • deltaT : différence de températures entre les plaques
  • h : distance entre les plaques
  • nu : viscosité cinématique du fluide
  • a : diffusivité thermique du fluide
  • La valeur critique exprimentale du nombre de Rayleigh est de 1708.

    Au-dessus de cette valeur, on obtient la formation de rouleaux contra-rotatifs.

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    BASES DE L'ETUDE D'INSTABILITE

    Dans le cas bidimensionnel, comme ici, pour réaliser l'étude d'instabilité il faut partir des équations de Navier-Stokes :

    On réalise alors la démarche suivante :

    On obtient finalement les équations suivantes :

    avec T=To+Teta, Psi la fonction courant, P le nombre de Prandtl, R le nombre de Rayleigh et J le Jacobien.

    Un système dynamique est de la forme : dX/dt=F(u,X)

    Pour réaliser une étude d'instabilité, on cherche tout d'abord la position d'équilibre telle que la dérivée temporelle de X soit nulle.

    Aux points obtenus, on étudie la stabilité en recherchant F(u,X)=0 pour les points d' équilibre. Si les valeurs propres de la jacobienne de F sont des réels négatifs, alors l'équilibre est stable, sinon il est instable.

    On peut ainsi obtenir des diagrammes de bifurcations de la forme suivante :

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    UN SYSTEME DYNAMIQUE INSTABLE

    DETERMINATION DU NOMBRE DE RAYLEIGH CRITIQUE ( / EXPERIENCE ET /BES PHOENICS )

    COMPARAISON AVEC L'EXPERIENCE

    On connait la valeur expérimentale du Rayleigh critique (1708), on en déduit donc la valeur expérimentale du gradient de température minimal à imposer pour obtenir l'apparition de rouleaux contra-rotatifs:

                                  deltaT = Ra.nu.alpha / g.(beta).h3.rho                                           

    avec

    • g=9.81 m/s2
    • beta=0.000276
    • h3=1.E-06 m3
    • rho=1000 kg/m3
    • alpha=1.43.E-07
    • Rac=1708
    • nu=1.E-03

    D'où deltaTc=9.E-02 K

    On obtient effectivement l'apparition de rouleaux contra-rotatifs et la répartition thermique suivante pour par exemple delta Tc =0.25, et ce en effectuant un calcul stationnaire :

    Après avoir obtenu cette instabilité, on détermine le gradient de température critique à l'aide des histogrammes de Fluent qui donnent une idée de la vitesse moyenne dans la cellule :

    Ce graphe confirme que le gradient de température critique est aux alentours de 9E-02 K.

    On a donc correctement simulé le problème de Rayleigh Bénard, même si l'on aurait pu raffiner la recherche du seuil critique. L'objectif était juste de retrouver le phénomène d'instabilité de Rayleigh Bénard afin d'avoir une base thermique pour la convection thermo-haline.

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    COMPARAISON AVEC LES RESULTATS DE PHOENICS

    On connait la valeur du Rayleigh critique obtenue sur Phoencs (1775<Rac<1790), on en déduit donc une valeur du gradient de température à imposer :

                                 deltaT = Ra.nu.alpha / g.(beta).h3.rho                                         

    avec

    • g=9.81 m/s2
    • beta=0.000276
    • h3=1.E-06 m3
    • rho=1000 kg/m3
    • alpha=1.43.E-07
    • Rac=1790
    • nu=1.E-03

    D'où deltaTc=9.45.E-02 K.

    Or deltaTc~9.E-02 K sous Fluent, les résultats sont donc cohérents. Il est à noter qu'on obtient beaucoup plus rapidement le seuil critique avec Fluent qu'avec Phoenics, de par les histogrammes de vitesse que fournit Fluent. De plus, Fluent permet d'accéder à une valeur de gradient de température critique relativement meilleure que celle de Phoenics, par rapport aux résultats expérimentaux.

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    CALCUL INSTATIONNAIRE / STATIONNAIRE

    Nous allons calculer les états stationnaires comme la limite d'un calcul instationnaire avec une condition initiale et un temps de simulation. Cette étude a pour but d'atteindre un état oscillant de la convection instable de Rayleigh Bénard.

    ex: Cas dT=1K (assez fort gradient de Température)

    t=50s

    t=100s

    t=250s

    t = 350s

    Sachant que l'instabilité se déclenche pour dT=0.09K, le fait d'obtenir 3 rouleaux en fin de simulation est tout à fait plausible.

    Cependant, l'état oscillant n'étant pas atteint, on visualise les résultats pour des pas de temps plus resserrés. Même en effectuant ce travail, nous n'atteignons pas l'état oscillant

    Concernant le calcul stationnaire, il est à noter que les calculs instationnaire et stationnaire ne donnent pas les même résultats puisque le calcul stationnaire donne 4 rouleaux :

    Il existe donc une différence non négligeable dans Fluent concernant les résultats des calculs stationnaires et instationnaires.

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    CONDITIONS INITIALES

    On fait varier la condition initiale en température sur le fluide dans le cas instationnaire. Cette partie a pour but d'étudier l'instabilté dynamique du système dynamique qu'est la convection de Rayleigh-Bénard en regardant l'influence des conditions initailes sur l'état final.

    Une fois les états stationnaires atteints, on obtient les résultats suivants.

    T=280K, t=200s

    T=280.5K, t=200s

    T=280.8K, t=200s

    T=280.25K, t=200s

    Rapidité du calcul instationnaire


    Tout d'abord, on remarque que plus l'initialisation est proche de la température inférieure, plus le calcul instationnaire atteint le régime établi rapidement. Ceci est surprenant car plus le fluide est chauffé, plus il est léger et plus l'instabilité apparait rapidement. Ainsi, on peut penser que plus le fluide est initialisée à une forte température, plus celui-ci atteint rapidement son état staionnaire, ce qui est en contradiction avec les résultats de
    Fluent.

    Rouleaux

    De plus, les conditions initiales ont une influence sur les forme des rouleaux de l'état stationnaire du calcul instationnaire, mais pas sur le nombre.

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    CONCLUSION

    La convection de Rayleigh-Bénard est un système dynamique dont il est relativament facile de trouver le premier point de bifurcation, que ce soit avec Phoenics ou Fluent. Cependant il est difficile de cerner l'influence des conditions initiales et aussi d'atteindre des états oscillants lors des cacluls instationnaires. Enfin, Fluent est relativement accessible mais il est difficile de comprendre pourquoi les simulations stationnaires et instationnaires ne donnent pas les mêmes résultats.

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