4. Evolution de Vz et Vx en fonction du Rayleigh





1. Influence des conditions initiales sur la vitesse



2. Evolution de Vz(x) et Vx(x)



3. Analyse de Fourier



4. Evolution de Vxmax et Vzmax











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1. Influence des conditions initiales sur la vitesse

Nous avons effectué quelques calculs pour déterminer l'influence des conditions initiales sur les vitesses.

Pour cela nous avons relevé plusieurs vitesses en faisant varier :

Nous en avons déduit que la vitesse était indépendante :

On en a déduit que la vitesse ne dépendait que du Ra et des conditions d'expérience (caractéristiques du fluide, matériau des plaques ...)




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2. Evolution de Vz(x) et Vx(x)

Nous nous sommes intéréssées à l'évolution de la vitesse Vx et Vz en fonction de x.

D'après la théorie, il y a deux régimes de vitesses :





1.1 Etude de Vz(x)

Régime linéaire

Pendant le régime linéaire, on a Vz(x)=V1sin(2*3.14*x/L) où L est la longueur d'onde. Dans notre cas L=0.02.

Vz(x) est un sinus de période 50 Hz.


Régime non-linéaire

Pendant le régime non-linéaire, on a Vz(x)=V1sin(2*3.14*x/L)+V2sin(2*3.14*2x/L)+V3sin(2*3.14*3x/L).

La vitesse est donc égale à la somme de 3 sinus de fréquence 50Hz, 100Hz et 150Hz.

En fait, les valeurs V1, V2 et V3 ne sont pas du même ordre de grandeur. Dans un cas étudié expérimentalement (avec de l'huile), on obtient les valeurs suivantes :

On en déduit que l'amplitude du 2ème sinus est négligeable devant les deux autres, et que celle du 3ème sinus est faible devant celle du 1er. Vz(x) est en fait égal à la somme de deux sinus d'amplitude différentes.


Pour déterminer le Ra de transition Rat, on visualise Vz(x) pour différents Ra . Lorsque l'on observe une déformation du sinus on se trouve à la transition.

On obtient le graphe suivant :



Pour Ra=2325, la courbe est bien sinusoïdale. Par contre elle commence à se déformer pour Ra de l'ordre de 3500 . On peut donc dire que Rat=3000.

On remarque bien la déformation du sinus pour des grandes valeurs du Ra, comme par exemple Ra=10524.





Le graphe suivant montre que Vz est bien la somme de 2 sinus de fréquence 50 et 150 Hz :









1.2 Etude de Vx(x)

Régime linéaire

Pendant le régime linéaire, on a Vx(x)=V1sin(2*3.14*x/L) où L est la longueur d'onde. Dans notre cas L=0.02.

Vx(x) est donc un sinus de période 50 Hz.

Régime non-linéaire

Pendant le régime non-linéaire, on a Vx(x)=V1sin(2*3.14*x/L)+V2sin(2*3.14*2x/L)+V3sin(2*3.14*3x/L).

La vitesse est donc égale à la somme de 3 sinus de fréquence 50Hz, 100Hz et 150Hz.

Comme dans l'étude précédente, les amplitudes ne sont pas toutes du même ordre de grandeur. L'expérience montre que V1>V2>V3 .


Comme précédemment, on visualise Vx(x) pour différents Ra . Lorsque l'on observe une déformation du sinus on se trouve à la transition.

On obtient le graphe suivant :

On remarque que pour Ra=2325, le sinus n'eat pas déformée. Par contre pour Ra=3615, la courbe est déformée. Ceci confirme que la transition a bien lieu pour un Ra=3000.




Le graphe suivant montre que Vx eat bien la somme de 3 sinus de fréquence 50, 100 et 150 Hz :




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3. Analyse de Fourier




2.1 Etude de Vz(x)

On a vu que dans le régime linéaire, Vz(x) est égal à un sinus de fréquence 50Hz, et dans le régime non-linéaire il est égal à la somme de trois sinus d'amplitude 50 Hz, 100 Hz et 150 Hz. En décomposant Vz(x) en série de Fourier on doit donc obtenir 1 pic à 50 Hz en régime linéaire et 3 pics à 50 ,100 et 150 Hz en régime non-linéaire.

On obtient la transformée de Fourier suivante :

En régime linéaire (Ra=2325) on n'observe qu'un seul pic à 50 Hz.

En régime non-linéaire (Ra>3000) on observe 2 pics à 50 et 150 Hz. En fait il ya bien un pic à 100 Hz mais son amplitude est trop faible pour qu'il apparaisse.









2.2 Etude de Vx(x)

On a vu que dans le régime linéaire, Vx(x) est égal à un sinus de fréquence 50Hz, et dans le régime non-linéaire il est égal à la somme de trois sinus d'amplitude 50 Hz, 100 Hz et 150 Hz. En décomposant Vx(x) en série de Fourier on doit donc obtenir 1 pic à 50 Hz en régime linéaire et 3 pics à 50 ,100 et 150 Hz en régime non-linéaire.

On obtient la transformée de Fourier suivante :


En régime linéaire (Ra=2325) on n'observe quasiment qu'un seul pic à 50 Hz.

En régime non-linéaire (Ra>3000) on observe 3 pics à 50, 100et 150 Hz.

Ceci confirme bien la théorie.



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4. Evolution de Vxmax et Vzmax

Nous nous sommes intéréssées à l'évolution du maximum de vitesse en fonction epsilon=(Ra-Rc)/Rc avec Rc=1707.



3.1 Etude de Vxmax

D'après la théorie, Vxmax=Kracine(epsilon).

En traçant en log-log Vxmax en fonction de epsilon, on devrait donc obtenir une droite de pente 0.5.

On obtient le graphe suivant :

On obtient bien une droite de pente 0.499.






3.2 Etude de Vzmax

D'après la théorie, Vxmax=Kracine(epsilon) pour des Ra proche du Ra critique.

On obtient le graphe suivant :

Pour Ra proche de Rc, on obtient bien une droite de pente proche de 0.5. On observe un changement de pente pour Ra>3000. Il s'agit du changement de régime. C'est la transition entre régime linéaire et non-linéaire.




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