Influence du Rayleigh sur le nombre de rouleaux





Dans cette partie, on se propose d'étudier l'influence du Rayleigh et des conditions initiales sur le nombre de rouleaux dans une boite de dimension 0.01 cm en y et 0.02 cm en x. Toutes les simulations ont été effectuées avec la même relaxation et un maillage identique á savoir 35 mailles en x et 40 mailles en y.

Pour chaque expérience numérique, la condition initiale a été codée dans le ground.f afin d'obtenir deux, trois ou quatre rouleaux et en imposant le sens de rotation. Pour programmer la forme et le sens du ou des rouleaux initiaux, on calcule la vitesse de l'écoulement par le produit de deux sinusoides, l'une représentant la variation de l'intensité de cette vitesse suivant x, l'autre suivant y. La vitesse est codée suivant ses deux composantes comme le montre les lignes suivantes:

                                           

Ainsi, au premier pas de calcul, le champ de vitesse qui n'est pas trop éloigné du champs initial, a bien l'allure souhaitée. En effet voici pour un maillage 35*40 les profils de vitesse de U1 suivant x et y pour un rouleau tournant dans le sens des aiguilles d'une montre. On peut voir que la condition d'adhérence est bien virifiée pour y=0 et y=a.

                                                           

                                                     

D'un point de vue théorique, plus le Rayleigh est élevé plus le nombre de rouleaux peut être grand á condition d'imposer une certaine condition initiale. Ainsi pour un même Rayleigh, le nombre de rouleaux peut varier á condition que ce dernier soit élevé. Par exemple, pour un Rayleigh 10000, on a pu successivement observer deux ou quatre rouleaux. La condition initiale était toujours codée pour voir au premier pas de temps quatre rouleaux, mais le fait de changer l'amplitude des sinusoides de la condition initiale a permis de passer de deux á quatre rouleaux . Cette constatation rejoint la théorie, á savoir que le tracé du nombre de Rayleigh en fonction du nombre de rouleaux présente plusieurs ramifications. Ainsi, pour un Rayleigh élevé, on peut théoriquement accroché différents modes comportant un nombre de rouleaux variable.

Voici une série d'expériences qui vont nous permettre de tracer le nombre de Rayleigh en fonction du nombre de rouleaux.

Le premier essai obtenu á partir d'une condition initiale pour deux rouleaux et un Rayleigh de 1804 nous donne la visualisation suivante:

                                                                   

Sur la figure suivante la condition initiale était pour trois rouleaux, et le rayleigh de 4500.

                                                                   

Et enfin voici le cas de quatres rouleaux pour un Rayleigh de 10000.

                                                                   

Pour les conditions initiales des exemples précédents, les figures observées sont le résultat de la première visualisation du bon nombre de rouleaux espéré lorsque le Rayleigh augmente. On peut ainsi retrouver la forme de l'enveloppe théorique du tracé du nombre de Rayleigh en fonction du nombre de rouleaux. Nos expérience aboutissent aux résultats suivants:

                                                           

On peut donc conclure que nos expériences numériques nous ont permis de retrouver les résultats énoncés dans les différents articles distribués en cours.


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