ETUDE DE LA VITESSE MAXIMALE


Introduction

Etude de la vitesse maximale

Etude de Vx

  1. Influence du nombre de Rayleigh sur Vx(x)
  2. Transformée de Fourier de Vx

Etude de Vz

  1. Influence du nombre de Rayleigh sur Vz(x)
  2. Transformée de Fourier de Vz


Introduction

L'étude de la vitesse est particulièrement intéressante dans la mesure où un certain nombre d'études a déjà été réalisé (sur le domaine non linéaire, sur les différentes harmoniques des composantes de la vitesse,...). Cette étude numérique nous permet de valider des résultats expérimentaux et pourra peut être conduire à de nouvelles études.

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Etude de la vitesse maximale

Théoriquement, la vitesse maximale atteinte par le fluide est donné par :

Vmax = 11.82 K / h * ((Ra - Rac) / Rac)1/2

où K représente la conductivité thermique du fluide

h représente la distance entre les plaques

Rac représente le nombre de Rayleigh critique.

Si l'on s'intéresse à la courbe log(Vmax) en fonction de log((Ra-Rac)/Rac)), la pente est de 0.5 et l'ordonnée à l'origine de -3.77.

Les résultats obtenus grâce à Phoenics nous donne la courbe suivante :

Evolution de Vmax en fonction de (Ra-Rac)/Rac

La pente obtenue est de 0.495 et la valeur à l'origine de -3.71. On retrouve donc bien le résultat théorique.

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Etude de Vx

Nous nous sommes tout d'abord intéressés à l'influence du nombre de Rayleigh sur les variations de Vx en fonction de x.

Il apparaît qu'au-delà d'une certaine valeur du nombre de Rayleigh, la courbe Vx(x) est modulée car on entre dans le domaine de la non linéarité. D'après P.Bergé, cette non linéarité apparaît à partir d'un epsilon de transition (où epsilon=(Ra-Rac)/Rac). Nous avons cherché à déterminer pour quelle valeur du Rayleigh on sortait du domaine de la linéarité. Il semble que la valeur de transition soit comprise entre 1957 et 2447. Notre critère de détermination est basée sur l'apparition de la troisième harmonique sur Vz lorsque l'on entre dans le domaine non linéaire.


Le graphe ci-dessous représente les modulations que l'on obtient dans le cas de la non linéarité (cf Ra=8076)

Il est intéressant d'étudier la transformée de Fourier de la vitesse. Nous nous sommes placés à différentes valeurs de Y.

Dans le cas linéaire, on observe essentiellement une seule harmonique. L'étude a été faite à partir de l'observation de 8 rouleaux (sur 4 celllules). Nous avons donc un pic fondamental à 4, les pics secondaires (qui ne devraient pas apparître dans le cas linéaire) étant à 8 et 12.


Dans le cas non linéaire, deux études ont été faites pour deux Y différents : Y=0 et Y=3Ymax/10.

Dans le cas Y=0, la première harmonique disparaît alors que la seconde harmonique est maximale. En effet, au niveau de l'axe, la vitesse est quasiment verticale donc la vitesse suivant x est très faible, ce qui explique la disparition de la première harmonique. Les autres harmoniques ont une amplitude très faible.

Dans le cas Y=3Ymax/10, cette première harmonique est beaucoup plus importante. En revanche, les autres harmoniques sont négligeables dans ce cas-là.


L'étude de la seconde harmonique permet de mettre en évidence une différence importante d'amplitude entre les cas Y=0 et Y=3Ymax/10 :

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Etude de Vz

De même que pour Vx, on observe des modulations de la courbe Vz(x) lorsque l'on sort du domaine linéaire.

Là encore, le cas linéaire se traduit par un pic fondamental situé à 4. En revanche, les pics secondaires sont quasiment inexistants pour la composante Vz.


Dans le cas non linéaire, pour Y=0, on n'observe que la première et la troisième harmonique, la deuxième disparaît. En effet, si on considère une représentation schématique des modes, on constate qu'en Y=0 (c'est-à-dire sur l'axe horizontal), on ne rencontre que le mode fondamental. De plus, on se rend bien compte sur la figure suivante que le champ de vitesse induit par la seconde harmonique est parallèle à l'axe Ox.

En revanche, si on se place à Y=Ymax/4, on observe la première et la seconde harmonique :



Le graphe suivant montre bien que l'on observe uniquement la première et la troisième harmoniques.



Si on se place maintenant à Y=Ymax/4, on voit apparaître la seconde harmonique.

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