Analyse instationnaire au voisinage du seuil

avant-propos :

       Pour faire cette étude nous sommes partis du régime permanent pour un Rayleigh déterminé qui nous a servi de condition initiale, puis nous avons augmenté la différence de température entre les deux plaques. Ensuite nous avons regardé l'évolution de la solution vers le nouveau régime permanent correspondant au nouveau Rayleigh.

          Nous nous sommes surtout intéréssé à l'évolution de la vitesse maximale au cours du temps. Nous avons comparé l'évolution numérique à l'évolution théorique.

formule théorique :

        Vimax(t,Ra1,Ra2)=Vsmax(Ra2)*EXP(t/To)*{EXP(2t/To)+[Vsmax(Ra2)/Vsmax(Ra1)]**2 -1}**-0.5

avec : -  Vimax(t,Ra1,Ra2) = Vitesse maximale en régime instationnaire correspondant au passage d'un Rayleigh de Ra1 à un Rayleigh de Ra2

          : -   Vsmax(Rax) = Vitesse maximale en régime stationnaire pour un Rayleigh = Rax

          : -    t = temps

          : -   To = Constante de temps calculé avec To=(20+-4)*{[(Ra-Ra_critique)/Ra_critique]**(-1.03+-0.05)} ce temps est un temps de relaxation

éléments de calcul :

  1.            Chaque calcul est effectué sur un temps de 800 à 1000 secondes avec un pas de temps de 30 à 50 secondes et avec 3000 itérations entre chaque pas de temps ce qui représente un temps moyen de calcul de l'ordre de 2 heures pour chaque calcul.Vous pouvez trouver un exemple de fichier Q1 en instationnaire.

            Nous traçons pour chaque calcul la fonction Vimax(t,Ra1,Ra2) cce qui nous permet de faire un premier jugement sur To. Celui-ci est mal évalué par la formule ci-dessus, nous n'obtenons qu'une approximation. Nous sommes obligés de déterminer le To à partir des calculs numériques. En effet si nous regardons la formule théorique, nous pouvons écrire :

                     EXP(-2t/To) = { [(Vsmax(Ra2)/Vimax(t,Ra1,Ra2)]**2 - 1}/{ [(Vsmax(Ra2)/Vsmax(Ra1)]**2 - 1}

            Nous traçons cette fonction EXP(-2t/To) pour chaque pas de temps et nous faisons une régression exponentielle ce qui permet d'estimer très précisemment le To. Ainsi pour chaque calcul nous pouvons comparer les courbes théoriques et les courbes numériques. Ces régressions exponentielles sont parfaites car les équations données par les régressions sont du type 1.004*EXP(-x/Cst) avec un coéfficient de corrélation quasiment égal à 1 ( R**2 > 0.998) .

Comparaison graphique entre les résultats théoriques et les résultats numériques :

             Vous trouverez ci-joints : Vimax(t,1713,1774)    To associé = 667 s

                                                             : Vimax(t,1713,1835)    To associé = 408 s

                                                             : Vimax(t,1713,1896)    To associé = 285 s

                                                             : Vimax(t,1713,1958)    To associé = 241 s

                                                             : Vimax(t,1713,2019)    To associé = 180 s

                                                             : Vimax(t,1774,1896)    To associé = 274s

                                                             : Vimax(t,1774,1958)    To associé = 244 s

                                                             : Vimax(t,1774,2019)    To associé = 196 s

remarques :

        - La nouvelle formule qui donne le To est satisfaisante mais il faut parfois retoucher To pour être très précis. Il serait intéressant dans une étude plus poussée de comparer les To "théoriques" avec les To obtenus à l'aide de la régression exponentielle.

         - La durée du régime transitoire décroît lorsque l'écart entre le Rayleigh initiale (Ra1) et le nouveau Rayleigh (Ra2) augmente. Cela s'explique facilement lorsque nous regardons de plus près l'expréssion de To, en effet To est de la forme Cst/(Ra-Ra_critique) , donc lorsque Ra augmente To diminue et donc nous passons plus rapidement d'un état à l'autre.

          - Physiquement, il faut raisonner à l'aide de l'énergie, en effet une grande différence de Rayleigh correspond à un grand apport d'énergie (perturbation plus énergétique) qui permet de passer de l'ancien état au nouveau plus rapidement.

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