BES PHOENICS

par Joël Lerda

INTABILITE DE RAYLEIGH-BENARD

Lorsque l'on soumet un fluide pesant enséré entre deux plans parallèles horizontaux à un gradient de température, l'expérience montre que, sous certaines conditions, il peut être siège de mouvements thermo-convectifs. Si la paroi supérieure est à une température supérieure à celle de la plaque inférieure, le fluide lourd est au dessous du fluide léger de sorte que la stratification thermique est stable. En effet, une particule fluide déplacée de sa côte d'origine vers le haut par exemple, se trouve environnée de fluide plus léger; elle subit donc une poussée d'Archimède négative tendant à la ramener vers sa position d'origine. Par contre, si le gradient de température est inversé, le même raisonnement montre que la particule déplacée vers le haut est plus légère que le fluide environnant. Il en résulte une force de flotabilité tendant à accroître le déséquilibre de position de la particule.

En présence d'une stratification instable entre plaques, l'expérience montre qu'au delà d'une valeur critique de l'écart de température, des rouleaux contrarotatifs d'axe horizontal prennent naissance au sein du fluide. C'est l'instabilité thermo-convective de Rayleigh-Bénard.

En fait, le paramètre adimentionnel qui permet de quantifier l'apparition de ce premier régime d'instabilité est le nombre de Rayleigh défini par :

Ra = (g*alpha*DeltaT*h^3)/(nu*a)

Dans l'expression ci-dessus, g est le module de l'accélération de la pesanteur, alpha le coefficient de dilatation thermique du fluide, DeltaT l'écart de température entre plaques distantes de h, nu et a, respectivement, la vicosité cinématique et la diffusivité thermique du fluide. La valeur critique du nombre de Rayleigh correspondant à l'appariton des structures précédentes est Rac = 1708.

Dans notre cas, nous avons étudié ces instabilités avec de l'eau, entre 2 plaques distantes de 0.01m. Ce phénomène a été modélisé à l'aide de PHOENICS, code de calcul pour la simulation d'écoulement de fluides et de transfert de chaleur. En premier lieu, on s'est interressé à la recherche du seuil d'instabilité, afin de vérifier que la simulation numérique donne le même nombre de Rayleigh critique que la théorie. Ensuite, on a cherché à déclancher plus de 2 rouleaux par cellule. Et enfin le problème des conditions initiales a été briévement étudié.

Tout d'abord, on a seulement considéré le problème bidimentionnel. La recherche du seuil d'instabilité s'est éffectué sur une demi cellule. Une cellule est le "volume" contenant une paire de rouleaux contrarotatifs, une demi cellule est donc carré. Ensuite, le déclenchement de plusieurs rouleaux a été effectué sur une cellule.

Cette cellule a été maillée par un maillage rectangulaire régulier, d'environ 20 points sur la hauteur pour avoir un temps de calcul raisonnable et une bonne approximation de la solution.

Les variables qui ont été résolues sont la vitesse (u,v), la pression et l'enthalpie. Cette dernière est conservative et directement liée à la température, qui déclenche l'instabilité.

La différence de température entre les plaques est donc une entrée de notre problème, car elle gouverne tout le phénomène.

Lors d'une étude d'instabilité, il faut forcer celle-ci à l'aide d'une condition initiale sur la vitesse. Si la perturbation initiale disparaît, le régime sera stable, sinon il sera instable. De plus, si l'on n'impose pas cette condition, l'instabilité risque d'être déclenchée par les erreurs numériques du code. On ne maîtrise, alors, plus la solution, qui pourrait ne pas correspondre au problème physique. Pour ce faire, on impose donc une condition sur la vitesse verticale v, telle que pour 0<x<xf et 0<y<yf

v(x,y) = Vmax * COS(2pi * Nb/2 * x/xf) * COS(pi * (y-yf/2)/yf)

Vmax étant la vitesse initiale maximale (pour x=0, y=yf/2), et Nb le nombre de rouleaux vers lequel on désire converger.

(pour la programmation cf le ground)

Par exemple pour obtenir 3 rouleaux, on choisi une condition initiale du type:

Afin de pouvoir choisir une vitesse maximale initiale proche de celle de la solution, on lance un rapide calcul et on obtient des vitesses de l'ordre de 1.E-6,1.E-4 m/s. On choisira donc Vmax de cet ordre de grandeur, pour que la solution obtenue ne soit pas trop influencée par la condition initiale.

Aux équations de conservations discrétisées, se rajoute un terme de relaxation. Ce terme permet de tenir la solution, en faisant dépendre plus ou moins la solution a l'instant n+1 de l'instant n. Il fait intervenir un faux pas de temps, Dt, qui peut être interpréter comme le temps nécessaire pour passer du centre d'une maille au centre de la maille suivante. Dt peut donc s'exprimer comme étant le rapport de la longueur des mailles par la vitesse maximale initiale (à un coefficient correcteur près).

Cette relaxation s'applique à toute variable transportable.

On désire déclencher 2 rouleaux dans un cellule, et trouver le nombre de Rayleigh critique à partir duquel apparraissent les rouleaux. Pour cela, on a choisit une condition initiale qui impose 2 rouleaux (Nb=2), avec une vitesse maximale de 1.E-5. Ensuite on a fait varier l'écart de température entre les plaques, et l'on a visualiser la solution. Ainsi par dichotomie, on obtient le nombre de Rayleigh critique.

On a obtenue un Rayleigh critique de 1642. Ce nombre critique est plus faible que celui théorique. Ceci peut s'expliquer par les instabilités numériques qui influence fortement la solution.

Pour des nombres de Rayleigh inférieur, on obtient une solution stable. Le profil d'enthalpie est linéaire .

Pour des nombres supérieurs, 2 rouleaux contrarotatifs apparaissent et le profil d'enthalpie n'est plus linéaire.

On a vu précédemment que 2 rouleaux se déclanchent pour un nombre de Rayleigh supérieur à 1700. D'apres le diagramme de stabilité de la solution, il est possible de déclencher 3, 4, 5... rouleaux par cellule. On a donc essayer de les mettre en oeuvre, et de trouver les Rayleigh de transition.

Pour pouvoir déclencher 3 rouleaux, on a imposé une condition initiale correspondante dont la vitesse maximale est de 1E-5. Cette vitesse est du même ordre de grandeur que celle de la solution.

On a effectué, comme pour 2 rouleaux, une recherche du seuil de déclenchement des 3 rouleaux. Avant ce seuil, on retombe sur une solution avec 2 rouleaux, après on obtient les 3 rouleaux>

Le nombre de Rayleigh correspondant à cette trransition est d'environ : 2984 (pour ce jeux de condition initiale)

apparition des 3 rouleaux

On constate qu'au seuil, les rouleaux ne sont pas identiques. On est bien à la transition entre 2 et 3 rouleaux.

On a déclenché les 4 rouleaux avec une condition initiale de 4 rouleaux et une vitesse de 1E-4. On remarque que si l'on se situe juste en dessous du seuil de déclenchement on obtient 3 rouleaux, et 2 si l'on est plus bas.

En partant de ces conditions initiales, on déclenche 3 rouleaux pour un nombre de Rayleigh égal à : 7647. On se trouve en régime établi, et l'on obtient alors des tourbillons identiques





A partir d'un Rayleigh de 8150, on obtient 4 rouleaux.



Par contre, pour des Rayleigh si élevé, on n'est pas sur de se trouver en écoulement laminaire.

Il est donc possible de déclencher plusieurs rouleaux en augmentant le nombre de Rayleigh et en choisissant une condition initiale adéquate.

On constate que la solution la plus probable d'avoir, en partant de conditions initiales quelconques et un nombre de Rayleigh supérieur au Rayleigh critique, est d'obtenir 2 rouleaux.

De plus, on remarque que le déclenchement de 3 rouleaux se produit beaucoup plus tard avec les conditions initiales choisies pour 4 rouleaux que pour 3 rouleaux. On voit donc l'importance des conditions initiales.

Comme on vient de le voir sur un exemple, les conditions initiales influencent directement la solution.

Dans le cas du déclenchement de 4 rouleaux, on utilse comme condition initiale : Nombre de rouleaux =4 et Vmax=1E-4. Et on impose un Rayleigh de 9412 (on ne discutera pas la validité du régime laminaire). Dans ces conditions, on obtient 4 rouleaux. Si l'on choisit une vitesse initiale de 1E-5, on obtient 2 rouleaux.

De plus si l'on part de condition de vitesse trop importante pour le phénomène, le code converge vers une solution qui peut être surprenante :






Nous avons étudié le problème d'instabilité de Rayleigh-Benard à l'aide d'un logitiel industriel. Tout d'abord, nous avons recherché le nombre de Rayleigh critique numérique =1642. Ce nombre est plus faible que celui théorique, ce qui peut s'expliquer par les instabilités numériques. Ensuite, nous avons essayé de faire déclencher plusieurs rouleaux (3, 4).Nous avons donc mis en évidence le problème des conditions initiales qui influence directement la solution. De plus, le maillage, la relaxation jouent aussi sur la solution.

Le code Phoenics permet de résoudre des problèmes d'instabilité, mais il faut jouer sur un grand nombre de paramètres pour obtenir une solution proche de la réalité. Il faut donc avoir une bonne connaissance du problème physique, pour pouvoir simuler. Et il faut surtout avoir un esprit critique vis à vis des résultats obtenus.