Etude du nombre de rouleaux en fonction de la perturbation initiale

Le nombre de rouleaux que l'on obtient depend du nombre de Rayleigh et de l' initialisation que l'on impose . Cette initialisation des calculs ( il ne s'agit pas d'initialisation temporelle ) et une maniere detournée d'imposer une perturbation physique á l'ecoulement a un certain instant .

Dans ce qui suit , on a pris comme condition initiale quatre rouleaux , et on a fait varier le nombre de Rayleigh .

Les conditions que l'on prend sont :
cavite 20cm*10cm
maillage regulier 20*20
le coefficient de relaxation pour la pression est de 0.8 ( relaxation lineaire)
pour la vitesse , il est de yvlast/ny/vref*coef (0.2/20/3e-3*coef ) avec coef = 1 (relaxation falsdt )
on initialise v1 ( vitesse verticale ) par ; v1 = 1e-3*cos(2*6.28*x/xmax)*sin(3.14*y/ymax)

Afin de verifier si on a bien initialisé , on visualise v1 de cette maniere :
on prend n'importe quel Ra
on lance la resolution pendant un seul pas
on prend une relaxation tres forte pour la vitesse (coef=1e-15): les conditions initiales sont "gelées"
on obtient ceci :

On lance ensuite la resolution pour differents Rayleighs . Comme prevu , on peut obtenir plusieurs rouleaux convectifs .

Pour dT = 0.25 ( Ra =3059 ) , on obtient 2 rouleaux

Pour dT = 0.35 ( Ra = 4283) , on obtient 3 rouleaux

Pour dT = 1.0 ( Ra = 12237) , on obtient 4 rouleaux ( les rouleaux ci dessous sont obtenus pour dT=2.0)

Pour dT = 50 ( Ra = 61190) , on a toujours 4 rouleaux

Pour dT > 100 les calculs divergent

A noter que pour dT = 50 , on est deja trés largement en ecoulement tridimensionnel , mais phoenics ne s' en apercoit pas .

A noter aussi que lorsque l'on obtient quatre rouleaux , la vitesse v1 est differente de la vitesse v1 initiale : l'amplitude et la forme de v1 sont differentes . En effet , comme on l' a montre dans l'analyse spectrale , le v1(x) obtenu par calcul est la superposition de trois harmoniques , alors que le v1(x) initial est une unique harmonique . Ci dessous le nouveau v1(x,y)

Cette etude montre que pour une condition initiale de calcul fixée ( 4 rouleaux ici ) , on peut obtenir plusieurs ecoulements differents selon le nombre de Rayleigh .

Quand il existe un ecoulement stationnaire , il comporte plusieurs rouleaux . Dans notre cas il peut en comporter 0,1,2,3 ou 4 .

Plus le Rayleigh est grand , plus il y a de rouleaux .

On peut suspecter , sans l'avoir verifié , que la limite entre 3 et 4 rouleaux depend du coefficient de relaxation . En effet , la relaxation tend á maintenir la solution prés de la condition initiale .Ayant fixé 4 rouleaux au depart , l'ecoulement sera enclin á rester dans cette configuration .

Une autre chose que l' on verifie , c'est que le nombre de rouleaux depend de l'initialisation . En imposant 3 rouleaux au depart , on obtient 3 rouleaux pour dT = 1.0 . On constate que le nombre de rouleaux n'excede jamais le nombre de rouleaux imposé au depart : contrairement au cas precedent , aussi haut que soit le Rayleigh , on n'aura jamais plus de 3 rouleaux .

Toute cette etude conforte la theorie : en haut d'une certaine courbe Ra = f ( longueur d'onde ) , le systeme est instable . Il peut adopter plusieurs types d'ecoulement stationnaire , selon le dT qu'on lui impose et selon la longueur d'onde des perturbations auxquels il est soumis .

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