Quelques commentaires sur le programme de simulation de l'instabilité de Rayleigh-Benard


Lorsque l'on place un fluide au repos entre deux plaques et que l'on chauffe la plaque du bas, il apparaît spontanéement une circulation de matière dans le fluide ainsi chauffé. Ce phénomène de convection est très rependu : rouleaux qui troublent un potage chaud, mouvement d'air nécessaire au tirage d'une cheminée, courant océanique et circulation atmosphérique.

Physiquement que se passe-t-il? En simplifiant à l'extrême, on pourrait dire : ce qui est chaud monte. En effet, une particule fluide proche de la plaque chaude se réchauffe et donc sa densité diminue. Comme la particule est moins lourde que les particules situées au dessus d'elle, elle a tendance à s'élever. D'où de proche en proche, le mouvement global du fluide.

Mais le problème serait très simple s'il n'y avait qu'une seule force qui agissait sur le fluide. Nous allons donc considérer le déplacement infinitésimal d'une goutte de fluide. Une pertubation aléatoire provoque un léger déplacement de la goutte de fluide vers le haut. La goutte est alors entourée de fluide plus dense et plus froid. La poussée d'Archimède est donc dirigée vers le haut et la goutte tend à s'élever. Cette force est proportionnelle à la différence de densité et au volume de la goutte. Un déplacement initial du fluide chaud vers le haut crée des forces qui amplifient le mouvement ascendant. Cependant pour que l'écoulement convectif s'établisse, il faut que le gradient de température atteigne un certain seuil.

En effet, on doit prendre en compte deux autres facteurs qui agissent dans le sens opposé de la poussée d'Archimède. Le premier est la traînée visqueuse. A faible vitesse, cette grandeur est proportionnelle à la viscosité du fluide multipliée par le rayon de la goutte et par sa vitesse.

La convection n'est pas le seul mode de transport de la chaleur. Le deuxième facteur qui intervient contre l'action de la poussée d'Archimède résulte de la diffusion et de la radiation. Ce dernier mode de transport peut être négligé, ce qui n'est pas toujours le cas de la diffusion. Il y a diffusion lorsque le temps pour établir l'équilibre thermique est inférieur au temps nécessaire pour qu'une goutte de fluide se déplace significativement ( de son rayon par exemple). Donc si le fluide ne se déplace pas plus vite qu'il ne perd de la chaleur par diffusion, l'écoulement convectif n'est pas entretenu.

L'existence d'un gradient de température n'est pas suffisant pour assurer l'établissement de l'écoulement convectif. Il faut d'abord vaincre les effets de diffusion et de viscosité. La relation entre ces effets opposés s'exprime par un rapport sans dimension : la force de poussée divisée par le produit de la traînée visqueuse et du taux de diffusion de la chaleur.Ce nombre adimensionnel s'appelle le nombre de Rayleigh. La convection démarre lorsque le nombre de Rayleigh est supérieur à une valeur critique.

autre exemple

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