Etude des vitesses dans le cas stationnaire

1. Evolution des vitesses en fonction du Rayleigh

On etudie en premier lieu l'evolution de la vitesse en fonction du Rayleigh

Considerons la fonction log(V)= f ( log E)
V est une des deux composantes de la vitesse
E = ( Ra - Rac ) / Ra ( c'est la distance reduite au declenchement de la convection : ici c'est une fonction lineaire de l'ecart de temperature entre les plaques ).

(Nous avons tracé cette fonction a l'aide de points calculés experimentalement )

Il est generalement admis qu'il existe deux domaines differents pour le cas bidimensionnel ; Un domaine ou la fonction f est lineaire de pente 0.5 .
Quand cette loi n'est plus verifiée (ce qui arrive pour Ra>3000 ) ,on qualifie le domaine de non lineaire .


2. Analyse frequentielle

Afin de mieux caracteriser le mouvement convectif , nous allons proceder á une analyse frequentielle des vitesses .

Des recherches precedentes indiquent que dans la zone lineaire le profil des vitesses Vx , Vz ne comportent qu'une seule harmonique ( les profils sont purement sinusoidaux ). Lorsqu'on quitte le domaine lineaire , d'autres harmoniques viennent s'ajouter a celles qu'on avait deja .

C'est ce qu'on se propose de verifier .

Cette étude porte sur une cellule de taille 2*1cm , où deux rouleaux ont été éxcités initialement.

On simule l'écoulement pour differentes valeurs du nombre de Rayleigh . On visualise ensuite l'allure de la vitesse verticale Vz en fonction de x , cela a mi hauteur . On obtient ceci :

Il apparait clairement que pour des Rayleigh assez faibles , Vz (x) a une forme sinusoidale ( il ne comporte qu'une seule harmonique ) .
Cette forme est perdue pour des Rayleigh plus importants ( lorsque l'on entre dans le domaine non lineaire ).

Afin de determiner plus precisement la forme de Vz on en fait l'analyse de Fourier

On a donc trouvé que dans le domaine non lineaire , Vz(x) est la superposition de deux modes : le mode principal , deja present dans le domaine lineaire , et un mode secondaire d'amplitude plus faible ( on le nomme le troisieme mode , le deuxieme mode etant a 100Hz ).
Le premier mode est a 50 Hz , ce qui correspond a une periode de 0.02 m , soit un systeme de deux cellules
Le deuxieme mode est a 150 Hz , ce qui correspond a un systeme de six cellules

Dans le graphe suivant , on a representé la vitesse Vz ainsi que les deux modes qui la composent.

Si on représente les écoulements associés aux modes , on a deux solutions possibles (on a representé ici l'ecoulement sur une demi longueur ):

Si on effectue l'analyse de Fourier de Vx (z) au quart de la longueur , on trouve trois modes . C'est donc la premiere solution qui est a retenir .