Analyse Instationnaire au voisinage du seuil d'Instabilité       


Sommaire:

1. Position du problème
2. Expériences numériques
3. Exploitation des résultats
4. Perspectives

Bibliographie:

Extrait du "JOURNAL DE PHYSIQUE-LETTRES", numéro 7, JUILLET 1978, CRITICAL EFFECTS IN RAYLEIGH-BÉNARD CONVECTION, CEN SACLAY.


1. Position du problème

2. Expériences numériques

3. Exploitation des résultats



Figure 1:

On représente une estimation de la valeur de T pour chacune des 7 séries de calculs.

On effectue alors une régression sous la forme y=a*exp(b*x).

Les résultats obtenus sont de trés bonne qualité au sens des moindres carrés : max(R2) >0.997.

L'imprécision majeure provient du fait que le coefficient a ne vaut pas strictement 1. Si l'on doit douter de la validité d'un calcul, alors ce critère semble assez approprié.

Dés lors, on obtient la meilleure valeur de T pour chacune des expériences. On a regroupé les ces calculs dans le tableau suivant, en notant E = (Rayfinal - Raycritique)/Raycritique :



Calculs Rayinitial -> Rayfinal a b T E
1 1776 -> 1898 1.1523 -0.0071 281.69 0.11385
2 1776 -> 1837 1.0807 -0.0048 416.67 0.07817
3 1776 -> 1800 1.0865 -0.0039 512.82 0.05663
4 1751 -> 1898 1.1312 -0.0075 266.67 0.11385
5 1751 -> 1837 1.0924 -0.0051 392.15 0.07817
6 1751 -> 1800 1.0721 -0.0039 512.82 0.05663
7 1751 -> 1776 1.0583 -0.0031 645.16 0.04225





Remarques:

Comme on pouvait s'y attendre, on note que plus l'écart de Ray est élevé plus le système répond rapidement.

Il faut noter le fait que les courbes sont regroupées par paires de Rayfinal commun, ce qui signifie que le Rayinitial n'est pas un facteur primordial dans l'évaluation de T. D'où la justification à posteriori de l'emploi de la Variable E.

Les fichiers résultats (130 fichiers phi) sont disponibles dans le fichier archive
biblio.resultats.tar classés par série de calcul (répertoire "RAYinitial.RAYfinal" et par pas de temps (de 1 à 20) ainsi que les fichiers Q1 correspondants.

















Figure 2:

On tente d'estimer la loi qui lie T à E, on dispose pour cela de 7 points dont 3 sont redondants. D'où une relative imprécision de la méthode.

Malgré tout , on obtient par régression en puissance la relation suivante : T = 38.07 * E ^ (-0.9063) avec un coefficient R2 = 0.9842.

Ceci est à rapprocher de la relation de dispersion de Landau-Hopf  (page 726 ref 1) qui donne au premier ordre

T = T_0/E .

La théorie donne une expression de

T_0 = d^2/K*(1+1.9544*Pr)/(38.4429*Pr)

Pr=6.94
K=1.42e-7
d=0.01

d'où T_0 = 38.44 secondes.

On a sur ce point un très bon accord Théorie Expérience !!

mais on pouvait s'y attendre ......








































4. Perspectives


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