BES - PHOENICS

Synthèse du travail de la promotion 1996-97

Instabilité de Rayleigh-Bénard

INFLUENCE DU MAILLAGE



On se propose d'étudier l'influence du nombre de mailles et de la répartition de celles-ci sur le déclenchement des cellules de Rayleigh-Bénard. Durant toutes les simulations suivantes les paramètres numériques sont restés les mêmes, á savoir la relaxation, la perturbation initiale et son amplitude... Ils ont été déterminés pour obtenir un déclenchement á un Rayleigh de 1708 pour un maillage régulier 80*80.

1-Maillage régulier

Le tableau suivant résume l'ensemble des expériences effectuées sur des maillages réguliers.

  

Maillage régulier:

Nombre de Rayleigh critique

80*80

1708

35*40

1680

20*20

1640

15*15

1600

10*10

1550

5*5

<1400

Maillage 80*80 pour Ra>Rac

On constate donc que le déclenchement a lieu pour un Rayleigh de plus en plus faible lorsque le maillage devient de moins en moins précis. Ce phénomène peut s'expliquer en interprétant le calcul du flux á la paroi. Ce denier est calculé grâce au calcul de la température au centre de la première maille et grâce á la valeur de la température á la paroi.

En raisonnant en volumes finis, les diverses équations sont intégrées une première fois et le calcul du terme de diffusion thermique revient alors au calcul de la différence de température entre celle de la paroi et celle du centre de la première maille (ce terme est Mu.Cp/Pr .dT/dy). Or on connait la loi de température á la paroi qui est de la même forme que la loi de vitesse dans la couche limite (parabole), ces deux modes diffusifs étant comparé par le nombre de Prandtl. Or en consultant Polis de Phoenics, on voit que le calcul de cette loi de paroi s'exprime par les lignes suivantes:

                                                      

Dans la plupart des problèmes de mécanique des fluides, le problème est défini par des conditions aux limites représentées par des parois. Dans notre modélisation, les conditions aux limites sont des conditions de températures imposées aux parois du haut et du bas. D'un point de vue simulation numérique, cela signifie que nous devons imposer une loi de paroi pour la température. Pour cela, il existe une commande sous Phoenics qui s'appelle Coval qui permet d'imposer les conditions aux limites et les informations sur les termes sources selon différentes lois imposées.

                                                               

Le calcul de dH/dy est obtenu par la différence de la valeur de l'enthalpie au centre de la première maille (fluid enthalpy) avec la valeur de cette même variable á la paroi ( ici -10.0).

Donc, il apparait que plus on s'éloigne du mur (plus le maillage est grossier), plus on a tendance á fausser le calcul des dérivées. En effet, dans un tel cas, on n'a plus la valeur de la tangente de la loi á la paroi, mais une pente représentant une corde de la courbe. En fait, on linéarise la loi de paroi sur un pas d'espace de plus en plus grand.

Un maillage trop grossier provoque également un problème de respect de condition aux limites. En effet le phénomène évoqué ci-dessus se répète et le calcul de l'enthalpie au centre de la première maille n'est plus du tout en relation directe avec la condition de dirichlet en température á la paroi. Les deux figures ci-dessous qui représentent l'évolution de l'enthalpie sur le domaine montrent le cas d'un maillage précis 80*80 et celui d'un maillage grossier 5*5. Sur le premier, on peut voir que les conditions de températures aux parois sont bien respectées (enthalpie constante H=Cp.T), tandis que le second montrent l'incohérence du champ d'enthalpie avec le problème physique.


                    

Champ d'enthalpie pour un maillage 80*80                   Champ d'enthalpie pour un maillage 5*5

Le calcul de flux dans la première maille n'est donc correct que pour des maillages relativement précis.

2-Maillages irréguliers

Nous avons repris les cas précédents en serrant le maillage sur les parois. Pour les maillages grossiers, ceci a eu pour effet d'empêcher la convergence (pas de résultats exploitables) des calculs. Il n'est possible d'observer des cas convergents que pour des Rayleighs beaucoup plus élevés que précédemment et d'autant plus que le coefficent d'irrégularité du maillage augmente. Dans tous ces cas-lá, on a observé á chaque fois des rouleaux de convection. L'explication de l'apparition de ces problèmes vient du calcul des dérivés. La surface séparant deux mailles n'étant plus le milieu des centres des mailles, le calcul de la dérivé pour les maillages évolutifs dépend de la différence de tailles de ces deux mailles et est donc faussé par rapport aux maillages réguliers. D'un point de vue volumes finis et échange de flux, le problème s'explique par le fait qu'une petite maille aura plus de difficultés á imposer son flux á une grande maille.

3-Conclusions

Comme nous l'avons vu précédemment, pour avoir une bonne modélisation, il faut avoir le maillage le plus fin possible. Cependant le temps de calcul est proportionnel aux nombres de mailles. Une solution pour garder un nombre de mailles correct tout en concervant un maillage serré aux parois serait de générer un maillage irrégulier serré au bord, mais nous avons vu que si le rapport entre la taille des mailles varie beaucoup, les calculs sont faussés. La solution est de générer un maillage serré (ici 80*80) légèrement évolutif. Ce maillage lá nous a permis d'obtenir un déclenchement pour un Rayleigh de 1708.


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