INFLUENCE DU NOMBRE DE RAYLEIGH ET LA GEOMETRIE SUR LE NOMBRE DE ROULEAUX

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Introduction

Influences sur le nombre de rouleaux initial

Diagrammes de stabilité

Conclusion


Introduction

Le nombre et la forme des rouleaux observés est lié à plusieurs paramètres le nombre de Rayleigh et la géométrie, comme nous le montrerons. Le but est de déterminer les influences de la géomtrie et du Rayleigh avec ou sans condition initiale sur le nombre de rouleaux

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Inluence sur le nombre de rouleaux à géométrie fixée

Sans condition initiale : influence de la géométrie

Lorsqu'on n'impose aucune condition initiale sur le nombre de rouleaux, le fluide converge toujours vers un état à deux rouleaux et ce quelque soit le nombre de Rayleigh (supérieure à Rac), et pour une géométrie et un maillage fixés (cellule de 1cm sur 2cm avec des mailles carrées). Si la cellule double de longueur, le nombre de rouleau final est deux fois plus grand : la géométrie impose directement le nombre de rouleau final.

Avec condition initiale : influence du Rayleigh

Lorsqu'on impose une condition initiale différente du nombre de rouleau imposé par la géométrie, le fluide ne converge plus vers le même nombre de rouleaux que lorsqu'il ny avait pas de CI. En faisant alors varier le Rayleigh, on peut obtenir différents états de convergence. Par exemple, on obtient :

En effet, ces conditions iniales permettent au Rayleigh d'amplifier tel ou tel mode.

Diagrammes de stabilités

En effet, il existe une théorie de diagrammes de stabilité qui explique le fait que pour obtenir un certain nombre de rouleaux, il faut un Ra suffisamment grand et une certaine géométrie. C'est ce qui est exposé dans la suite.

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Diagrammes de stabilités

Théorie

Il existe une théorie sur les diagrammes de stabilité que nous avons schématiquement représéntés ci-dessous :

Ainsi, en fixant une condition initiale telle que le fluide ne converge pas automatiquement vers son état de convergence sans CI (2 rouleaux pour une cellule de 1 sur 2), et en imposant un Rayleigh et une géométrie adaptées, le fluide pourra "tomber" dans les différentes cuvettes de potentiel représentées sur le graphe.

Par exemple, pour Rac(1 ou 3 rouleaux)>Ra>Rac(2 rouleaux), le fluide convergera vers deux rouleaux. Pour Ra>Rac(1 ou 3 rouleaux), le fluide convergera soit vers 1 rouleau, soit vers 2 rouleaux, soit vers 3 rouleaux. Et ainsi de suite...

Détermination numérique

Constatation

En effet, pour un Rayleigh suffisamment grand, le fluide converge vers différents nombre de rouleaux. Aussi, nous avons réalisé les tests suivants :

Le dernier test montre que les CI ne contrôlent pas l'état final du fluide pour un Ra de 4000. Ainsi, on peut supposer que pour certains Ra, les CI influent vraiment et que pour d'autres elles n'influent pas du tout.

Ces résultats semblent cependant être en accord avec la courbe théorique ci-dessus qui montre qu'à un Ra suffisamment grand, le fluide peut converger vers différents nombre de rouleaux.

Détermination

Ainsi, à l'aide d'autres essais, on pourrait obtenir des sous-diagrammes de stabilité par la méthode suivante :

La méthodologie pour obtenir la courbe de stabilité consisterait à imposer une longueur de boite et faire la simulation pour des Ra différents et d'observer le nombre de rouleaux obtenu. On obtient alors une longueur d'onde à reporter sur le graphe en fonction du Ra, le point obtenu correspondant à l'enveloppe du nombre de rouleaux obtenu.

Grâce à cette courbe qui serait déterminée numériquement il serait possible de savoir si un nombre de Rayleigh et une géométrie permettent l`obtention du nombre de rouleaux voulu. En effet, la longueur d'onde est liée à la géométrie par :

où H est la hauteur de la cellule et L la longueur de 2 rouleaux

Important

Remarque : les CI ne sont pas prises en compte pour déterminer le diagramme, il faut juste imposer une condition initiale sur le nombre de rouleaux tel que le nombre initial soit différent du nombre obtenu sans CI


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Conclusion

Lorsqu'il n'y a pas de conditions initiales, le nombre de rouleaux ne dépend que de la géométrie, en supposant que le Rayleigh soit supérieur à Rac du nombre de rouleau imposé par la géométrie.

Les conditions initiales permettent seulement d'éviter que le fluide ne converge naturellement vers son état sans CI.

Le diagramme théorique de stabilité peut être tracé en faisant varier la géométrie et le Rayleigh, tout en choisissant une condition initiale adaptée (CI imposant un nombre de rouleau différent de celui imposé par la géométrie).

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