Grand nombre de Rayleigh et k-epsilon


L'étude de l'instabilité de Rayleigh-Benard peut se faire pour des grands nombres de Rayleigh. En effet si l'on augmente la différence de température d'autres phénomènes apparaissent. On peut ainsi faire apparaitre une instabilité secondaire : il s'agit de l'oscillation des rouleaux suivant l'axe transversal (l'axe z). Mais ce phénoène ne peut être simulé, bien entendue, que sur un calcul 3-D. Ces simulations n'ont pas été réalisé car elles sont très longues, et de plus la visualisation du phénomène n'est pas évidente.

Ce qui est présenté ici n'est qu'un premier test pour fixer les ordres de grandeurs, mais ceci ne pourrait en aucun cas constituer des résultats trés proches de la réalité.

Les simulations ont été réalisé avec un modéle k-epsilon. Pour augmenter le nombre de Rayleigh deux options sont possibles : soit on augmente la différence de température entre les deux plaques, soit on augmente l'écart entre les plaques. La premiere solution ne semble pas très physique, mais lorsque l'on adimensionnalise les données seule la valeur du nombre Rayleigh compte.

Les résultats suivant ont été obtenus en faisant varier l'écart de température.

Rayleigh

Nusselt

1/3

2/7

4.7e+6

15

0.09

0.19

1.2e+6

12

0.11

0.22

1.2e+7

16.5

0.07

0.16

2.9e+5

8.6

0.13

0.24

2.9+e6

14.1

0.10

0.20

A trés grand nombres de Rayleigh, le Nusselt est le Rayleigh sont reliés par une lois du type Nu=k*(Ra)^a, avec a =1/3 ou 2/7 suivant les auteurs. Les colonnes 1/3 et 2/7 correspondent à la détermination de k avec ces deux lois.

Ces résultats n'ont pas pour but de déterminer la meilleure des deux lois, mais de voire si l'ordre de grandeur des résultats est correcte. Si l'on ne tient compte que de la premiere décimale les résultats sont cohérents (c'est à dire que la valeur de k est constante pour toute les réalisations) : on obtient alors respectivement k = 0.1 et 0.2 pour les exposants 1/3 et 2/7.

Les résultats obtenus ici ne constitue vraiement qu'une premiere approche. Il aurait fallu pour avoir des résultats plus fiables, déterminer le y+ à la paroi, et aussi essayer des modéles de turbulence bas Reynolds.

Par contre les résultats restent globalement cohérents, ce qui montre la robustesse du modéle k-epsilon utilisé ici.

Une autre simulation a été réalisé, mais cette fois ci avec dT = 90 et l'écart entre les plaques de 5 cm au lieu de 1 cm. Pour un Rayleigh de 134e+6, on obtient un Nusselt de 18 est une vitesse maximun dans le domaine de 0.02 m/s.

Courbes :

Vecteur vitesse.

Température.