INFLUENCE DES DIVERS SCHEMAS, DU MAILLAGE ET DU PAS DE TEMPS


Le chapitre précédent évoque la différence entre le résultat analytique et le résultat numérique. Afin de comparer plusieurs schémas, plusieurs maillages ou différents pas de temps, nous allons nous appuyer sur cette différence pour évaluer la performence d'un shéma.

Un raisonnement rigoureux voudrait que l'on calcule l'erreur entre théorie et numérique, puis que l'on traite statistiquement ces écarts. Pour des raisons de temps, nous allons juste nous contenter de suivre l'erreur suivant l'axe x (axe de l'écoulement) pour un y fixé en sachant que suivant y les écarts d'erreur ne doivent pas trop varié.

1- Première série d'étude sur 5 schémas


Notre première étude d'influence de schémas est effectué sur le maillage 50.



La première série de shémas étudiée est la suivante. Le pas de temps du calcul est de 0.01 seconde. Le numéro à quatre chiffres correspond au type de schéma et á ses options. Le premier numéro correspond au type de shéma utilisé pour H, le second au type pour V. Les numéros ont les correspondances suivantes:

1: Méthodes des caractéristiques.

2: Schéma semi-implicite centré + décentrement SUPG.

3: Schéma hybride (caractéristiques+SUPG).

4: Méthode F.C.T. (Flux Corrected Transport Scheme).

5: Schéma conservatif + SUPG.

Lors de l'utilisation de la méthode SUPG, l'utilisateur doit fixer le type de décentrement souhaité. Trois types de décentrement sont possibles:

0: pas de décentrement.

1: décentrement classique égal á 1

2: décentrement égal au nombre de courant.

C'est ce qui est fait dans les deux numéros suivants pour H puis pour V. Prenons l'exemple du schéma 2122: le premier numéro signifie que le schéma utilisé pour H est le SUPG semi-implicite, le second indique que l'on utilise la méthode des caractéristiques pour U, le troisième fixe un décentrement classique et le dernier ne sert à rien car le schéma pour U n'utilise pas de décentrement.






Examinons maintenant les différents schémas obtenus.

Les erreurs tracées sont les erreurs sur H pour plusieurs pas de temps. Le principal pic d'erreur est situé à l'endroit où le niveau d'eau commence a descendre. Ce point remonte au cours du temps, c'est pourquoi le pic d'erreur se déplace vers la gauche. Ce pic étant présent pour tous les schémas, nous allons regarder l'évolution sur les autres points du domaine.

On constante que globalmement le schéma SUPG ne marche pas trop mal à condition de décentré fortement. La méthode des caractéristiques ne convient pas très bien pour H. Le shéma hybride fonctionne relativement bien pour H. Enfin, on constate que la méthode FCT induit une forte erreur sur la fin du domaine. On est en droit de se demander si la valeur du CFL n'influe aussi sur les résultats finaux.

On va donc procéder à une deuxième série de test avec une analyse plus fine.

2- Deuxième série d'étude sur 2 schémas conseillé par le manuel d'utilisation.

'' Dans la plupart des cas, il est conseillé d'utiliser l'option 1 pour les vitesses, et l'options 2 (avec un décentrement égal à 2) pour la hauteur. Cependant, si le nombre de courant reste inférieur à 1, le schéma FCT peut peut donner des résultats encore meilleurs. ''. Ces propos sont dans le manuel d'utilisation. On va donc étudié les schémas 212x et 412x plus précisement en suivant l'évolution du CFL (nombre de courant).

Pour faire varier le CFL, nous avons deux possibilités: soit on change le pas de temps, soit on modifie le maillage.






Les deux graphes ci-contre sont les résultats de deux simulations d'un même problème avec le même maillage et le même schéma numérique. Seul le pas de temps a changé.


Sur le premier tracé le pas de temps est de 0.01 sec ce qui a pour conséquence d'avoir un CFL toujours inférieur à 1 alors que sur le deuxième graphe le pas de temps est de 0.1 sec ce qui a pour conséquence de faire passer le CFL au-dessus de 1 sur la fin de l'écoulement.

On constate alors que la méthode FCT n'est pas idéale dans ce dernier cas comme le laissait entendre le manuel d'utilisation.












On regarde maintenant ce que donne le deuxième schéma conseillé. Le CFL étant supérieur à 1 sur la fin du domaine le schéma 212x convient mieux.























Par contre, si on rediminue le pas de temps de facon à ce que le CFL reste quasiment toujours inférieur à 1, le schéma 412x redevient aceptable.























On passe maintenant à un maillage plus fin: un maillage 100.

Le fait d'avoir affiner le pas d'espace, le CFL a augmenté sur tout son ensemble. On constate alors que le schéma 412x conduit à une instabilité très forte sur la fin du domaine alors que le schéma décentré suivant la valeur du CFL conduit à un résultat satisfaisant.


















































On affine à nouveau le pas de temps afin de pouvoir comparer les deux schémas lorsque le CFL reste inférieur à 1. Le manuel dit, dans ce cas-là, que le schéma FCT peut donner de meilleur résultats que le schéma SUPG. Ici, force est de constater que la différence n'est pas flagrante et que l'on ne peut pas conclure avec ce style d'analyse d'erreur qu'un schéma est meilleur que l'autre.

































3- Conclusion

Les différents schémas étudiés précédement nous permette de choisir un schéma pour la suite de notre étude. Les schémas 212x et 412x fonctionnent tous les deux relativement bien, mais le second a le désavantage de ne bien marcher que pour un CFL inférieur à 1. On adopte donc pour la suite le schéma 212x qui nous donnent pleine satisfaction dans tous les cas.

La simulation de ces différents schémas nous permet également de conclure que plus le pas de temps et le maillage s'affinent, plus le temps de travail augmente. Néanmoins, cet aspect reste très grossier, car il est très difficile de connaître en permanence le taux d'occupation de la station utilisée.


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