INFLUENCE DES DIVERS SCHEMAS, DU MAILLAGE ET DU PAS DE TEMPS

(sur fond mouillé)


Dans l'étude de l'influence des schémas sur fond sec, nous avons vu que les schémas qui convenaient le mieux étaient la méthode des caractéristiques pour la convection de la vitesse et que pour la convection de la hauteur d'eau deux schémas marchaient relativement bien: soit le SUPG soit la méthode FCT. Nous les appellerons respectivement avec la même convention que sur fond sec 2121 et 4121.

Dans la suite nous allons étudier ces deux modes de convection pour deux maillages et pour deux pas de temps différents.

Le probléme sur fond mouillé différe du problème sur fond sec de part sa condition initiale. Ici la condition initiale ne dépend pas de la solution analytique et la hauteur d'eau de départ présente un discontinuité qui n'apparaissait pas dans notre première étude.



1- Etude du schéma 4121









Les trois schémas ci-contre et ci-dessus sont des résultats issus du schéma FCT pour la hauteur d'eau avec un pas en temps de 0.01s. On constate que l'erreur sur la hauteur d'eau est la plus importante au niveau du resaut. En effet le décalage en espace induit un erreur pas vraiment significative. Il vaut mieux donc comparer les profils de hauteur d'eau et de vitesse entre le résultat numérique et la solution analytique.

Nous allons maintenant augmenter ce pas de temps.
































On constate qu'en grossissant le pas de temps, nous n'avons pas dégradé les résultats de façon importante. La courbe de la solution numérique s'éloigne un peu plus de la solution analytique, notamment dans la partie avant le resaut. Les oscillations juste avant le resaut sont de même grandeur avec les deux pas de temps.

Dans l'analyse sur fond sec, nous avions conclu que le schéma 2121 était meilleur que le 4121. Etudions l'influence du pas de temps et du maillage sur le schéma 2121.













2- Etude du schéma 2121





Les trois graphes ci-contre et ci-dessus sont le résultat du schéma décentré avec un pas de temps de 0.01s. On constate que l'erreur se situe essentiellement au niveau du resaut, et que pour le reste le résultat n'est pas très satisfaisant.























On change maintenant le pas de temps en le rendant plus grossier






On constate ci-dessus que le graphe de l'erreur sur la hauteur d'eau ne nous donne pas d'amélioration très significative, mais que par contre le tracé numérique de la vitesse a beaucoup moins d'oscillations parasites juste avant le resaut .En contre partie, comme pour le schéma 4121 la solution numérique s'éloigne un peu plus de la solution analytique, notamment au niveau de la mise en vitesse.


Nous changeons maintenant de maillage en prenant un maillage plus grossier 50, et nous examinons les tracés de hauteurs d'eau et ceux de vitesses.









Pour un pas de temps de 0.01s, le résultat est franchement mauvais. On voit ci-dessous qu'en grossissant à nouveau le pas de temps, on améliore les résultats avec les mêmes constatations que précédement.

3- Conclusion

La résolution du problème sur fond mouillé est autrement plus délicate que celle sur fond sec. En effet le resaut et la position initiale de l'eau induisent une forte dicontinuité de la hauteur d'eau qui pose toujours un problème lors de résolution numérique. En effet cette discontinuité induit un spectre de fréquence très large et si le schéma numérique est fortement dispersif, il peut entrainer des oscillations parasites sur la solution numérique (la vitesse des ondes dépend de la longueur d'onde). Dans notre simulation sur fond mouillé, on a pu observer ses oscillations à plusieurs reprises, mais qui n'ont pas eu de trop grosses conséquences sur les résultats. Néanmoins cette remarque nous permet de comprendre pourquoi la solution sur fond sec a été simulée à partir d'une condition initiale égale à la solution analytique. On avait adopté ce système d'initialisation afin d'éviter un passage de la hauteur d'eau d'une valeur H à une valeur nulle. Car si les oscillations vues ci-dessus n'ont pas eu de conséquences facheuses pour notre résultat final, il en aurait été tout autrement si la hauteur d'eau s'était mise à osciller autour de la valeur 0. Une hauteur d'eau négative nous aurait conduit à une instabilité du schéma utilisé.


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