Modélisation numérique du comportement hydrodynamique de la baie du Mont-Saint-Michel.


1.Hypothèses simplificatrices
  1.1.Préambule
  1.2.Hypothèses générales
1.2.1.sur la topographie
1.2.2.sur la bathymétrie
1.2.3.sur les flux de masse aux frontières
1.2.4.les marées
1.2.5.les débits des rivières Couesnon, Sée, Sélune
2.Génération et caractéristiques du maillage
3.Conditions aux limites
4.Paramétrage physique
5.Paramétrage numérique
6.Initialisation du calcul, conditions aux limites instationnaires et calage du modèle
7.Résultats
  7.1.Historique du calcul
  7.2.Dynamique des courants dans la petite baie
  7.3.Conclusions
8.Bibliographie


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1.Hypothèses simplificatrices

1.1.Préambule

On traite ici un cas de grande dimension ( d'une superficie d'environ 250 Km2 ), il est donc nécessaire d'envisager de nombreuses simplifications afin d'obtenir dans un temps raisonnable des résultats s'accordant au mieux avec la réalité.

Il s'agit donc de classer, en termes d'influence, les échelles caractéristiques du domaine afin d'élaguer au maximum le problème et de réduire le coût de l'étude. Ainsi, on justifiera avec soin les diverses hypothèses introduites dans ce modèle numérique, sachant qu'un grand nombre d'entre elles s'appuie sur le document fournit par la DDE de Saint-Lô, "Rétablissement du caractère maritime du Mont-Saint-Michel / Etude d'impact. Première partie. ANALYSE DE L'ETAT INITIAL".

On distinguera dans cet exposé deux sous-domaines: la petite paie qui s'étend approximativement de la pointe du Grouin Sud au Nord-Est à la dique Saint-Anne au Sud et la grande baie qui contient le reste du domaine.

1.2.Hypothèses générales

On résout, à l'aide du système Telemac2d, les équations de Barré de Saint-Venant à deux dimensions d'espace horizontales. Les écoulements considérés sont de type instationnaires, incompressibles, à surface libre, 2D.

On suppose :

que l'effet des forces de Coriolis est négligeable dans tout le domaine ( ce qui n'est pas tout à fait vérifié dans la grande baie ).

que l'effet des phénomènes météorologiques sont négligeables devant les phénomènes líés à la marée.

que l'écoulement est non turbulent.

et que la température et la salinité n'ont pas d'influence sur la densité du fluide. Dès lors, la masse volumique sera considérée constante et égale à 1020 Kg/m3.

1.2.1.sur la topographie

Elle est issue de la digitalisation des cartes IGN et SHOM locales, à l'aide du logiciel SINUSX.
Le domaine modélisé s'étend de Granville à Cancale par la côte et par une frontière maritime fictive. Les estuaires des rivières Sée et Sélune sont tronqués. La précision de la définition des contours augmente quand on se rapproche du Mont-Saint-Michel. Il n'est pas nécessaire d'avoir une résolution trés importante au niveau des frontières solides puisque l'eau ne les atteind jamais. La digue-route n'est pas considérée comme une frontière du domaine.

1.2.2.sur la bathymétrie

Elle est issue de la digitalisation des cartes SHOM et DDE locales, à l'aide du logiciel SINUSX.
Une attention particulière est apportée à la définition de la bathymétrie de la petite baie dans laquelle on investit quasiment la moitié des points du maillage. Nous avons rencontré quelques problèmes lors de la fusion des données bathymétriques relatives à ces diverses sources dus notamment à des problèmes de compatibilité d'échelles entre carte.

1.2.3.sur les flux de masse aux frontières

1.2.4.les marées

La direction de propagation de l'onde de marée est considérée perpendiculaire à la frontière fictive reliant Granville à Cancale, d'amplitude 10 m et de période 12h 25 min 14 s (44 714 s), ce qui correspond approximativement à une marée de coefficient 100 - 110.

1.2.5.les débits des rivières Couesnon, Sée, Sélune

Les débits des rivières Sée, Sélune sont considérés constants et pris égaux à leur valeur moyenne sur l'année, c'est-à-dire environ 12 m3/s.
Quant au Couesnon, on modélise le comportement du barrage ainsi que l'effet de chasse engendré, par une évolution périodique que l'on définira lors de l'établissement des conditions aux limites.

2.Génération et caractéristiques du maillage

Une fois la topographie et la bathymétrie acquises, on génère un maillage 2D de type non-structuré, homogène, composé de triangles, raffiné dans la petite baie et surtout au niveau du Mont-Saint-Michel et de l'estuaire du Couesnon. Cette opération est certainement la plus coûteuse en temps et la plus délicate. En effet, on doit respecter un certain nombre de critères relatifs à la qualité des maillages (régularité géométrique des élements, régularité dans les variations de taille des élements, nombre de connections entre élements). On utilise pour cela la chaîne de génération TRIGRID-NODER-EDITOR.

Quelques chiffres : la maîtrise de toute la chaîne ainsi que la réalisation de ce maillage relativement petit, mais de qualité, nous a pris plus d'une semaine de travail à temps complet. (Il compte environ 1800 noeuds pour 3600 élements)

Maillage complet :

Maillage raffiné de la petite baie :

3.Conditions aux limites

La côte ainsi que le Mont et Tombelaine sont considérés comme des parois solides et imperméables d'altitude 16.1 m par rapport au zéro du SHOM. La digue route, bien que d'atlitude égale n'est pas modélisée comme une paroi solide mais comme une ligne de bathymétrie constante égale à 16,1m, intérieure au domaine afin de pouvoir modifier sa longueur sans avoir à effectuer des corrections importantes sur le maillage.
La Sée et la Sélune sont modélisées par des frontières liquides (de 7 noeuds de maillage) à débits imposés et constants (égaux à leur valeur moyenne).
Le débit du Couesnon vérifie l'évolution citée plus haut.
On impose à la frontière liquide fictive une hauteur d'eau sinusoïdale, que l'on a déjà définie plus haut.

4.Paramétrage physique

On modélise le frottement sur le fond par la loi de Strickler, avec un coefficient de Strickler uniforme de 55 (qui correspondrait à du sable moyen d'après Mr. MIGNIOT). Il ne s'agit ici que d'un modèle, peu représentatif de la réalité : en effet, il existe plusieurs sortes de sédiments très différents les uns des autres...ce qui implique des frottements différents.
Le coefficient de diffusion des vitesses est pris constant et égal à 0.01.

5.Paramétrage numérique

La résolution des équations de Saint-Venant non-conservatives en formulation hauteur-vitesse est effectuée à l'aide d'une méthode type élements finis. On adopte le schéma numérique suivant :

Méthode des caractéristiques pour la vitesse avec un décentrement égal à 1. La méthode des pas fractionnaires est mise en oeuvre (termes de convection dans un premier temps puis termes de diffusion, propagation et sources)

Méthode FCTS (Flux Corrected Transport Scheme) pour la hauteur avec un décentrement égal au nombre de courant.

La résolution du système linéaire est effectuée à l'aide d'une méthode itérative de type GMRES (Generalized Minimum Residual) sur un espace de Krylov de dimension 3 avec un préconditionnement diagonal.

Les bancs découvrants sont pris en compte dans l'utilisation de Telemac2d.

6.Initialisation du calcul, conditions aux limites instationnaires et calage du modèle

On initialise le calcul en fixant dans tout le domaine une certaine hauteur d'eau puis on amorce la marée en faisant varier la hauteur d'eau sur la frontière liquide à hauteur d'eau imposée.

La méthode mise au point a pour but d'obtenir au bout d'un certain temps les conditions aux limites explicitées plus haut. Ainsi, l'emploi de conditions aux limites de type instationnaires est, bien sûr, nécessaire pour simuler les marées ainsi que le débit particulier du Couesnon, mais aussi pour atteindre ces régimes périodiques de manière progressive car nous avons remarqué que l'utilisation de conditions qui présentent de fort gradients dans le temps se revèle inadaptée. En effet, nous avons pu noter l'apparition d'ondes non physiques qui se propagent dans tout le domaine et persistent longtemps bien qu'elles tendent à s'attenuer et certainement dues au manque de régularité de l'évolution des conditions aux limites.

C'est pourquoi nous avons adopté une méthode qui fait transiter les conditions aux limites d'un état à un autre comme suit :

Première phase : on maintient la hauteur d'eau dans tout le domaine a la cote 16 m et on amorce les débits des rivières par une rampe linéaire de 0 à 12 m3/s de sorte qu'il existe un "pont" fluide entre les rivières sans quoi le calcul diverge systématiquement. Une fois le régime permanent atteint pour les rivières, on fait changer le niveau d'eau global afin de le caler sur une hauteur physiquement acceptable à l'aide d'une arche de sinusoïde (en accord avec les valeurs obtenues dans "l'almanach du petit marin breton" - coeff 110 : à Granville : PM = 12,95 m, BM= 2,75 m ). En fait, il est nécessaire de caler la hauteur maximale à 14,3 m par rapport au zéro du SHOM, si l'on veut obtenir une marée qui remonte potentiellement le Couesnon et qui respecte bien le zéro du SHOM. On peut expliquer cette différence par l'approximation faite sur la valeur du Strickler qui constitue une hypothèse forte et peu vraissemblable ainsi qu'à d'éventuelles erreurs dues à la l'acquisition des données bathymétriques (multiplicité des cartes, des références et des échelles).

Seconde phase : on stabilise la solution puis on met en place la marée. Les conditions de marée sont alors atteintes.
Paralèllement, on impose que le débit du Couesnon varie de manière périodique selon le schéma suivant et ce à partir de la seconde période de marée :

PM-1h     : le barrage se ferme selon une rampe linéaire.
PM            : le barrage est fermé.
PM+1h30  : le barrage s'ouvre selon un rampe linéaire pour atteindre un débit maximum de 42 m3/s 10 mn plus tard puis le débit chute de manière exponentielle avec un temps caractéristique d'une demi heure pour rejoindre sa valeur nominale. Les valeurs du débit maximal, et du temps caractéristique ont été déterminé en égalant le volume d'eau éjecté lors de la chasse au volume d'eau emmagasiné pendant la fermeture.
PM+6h      : le débit vaut à nouveau 12 m3/s

7.Résultats

7.1.Historique du calcul

Un outil intéressant concernant la convergence des calculs est le tracé du diagramme des phases entre H, hauteur d'eau sur la frontière liquide soumise à la marée, et Q le débit fluide libre entrant ou sortant du domaine.

Evolution globale :

Evolution sur la dernière période :

On note l'existence d'un cycle limite, ce qui en soit est rassurant, mais entäché d'un certain nombre d'oscillations dont la fréquence nous fait suspecter leur caractère non physique.

Il est clair que les oscillations obtenues au cours de cette phase d'initialisation s'atténuent dans le temps. Malheureusement, le temps de calcul pour l'obtention d'un tel cycle étant déjà presque prohibitif, on se contente ici de la solution obtenue sur la deniére période.

Quelques chiffres : il faut environ 7h30 temps réel pour simuler 302400 seccondes, soit 84 heures sur lesquels on n'utilise que les 12h30 finales.

7.2.Dynamique des courants dans la petite baie

La dynamique de de la grande baie ne présentant pas un intêret majeur puisque elle ne sert en fait que de condition aux limites pour la petite baie, on s'assure simplement que les courants ainsi que les hauteurs d'eau obtenus sont du même ordre de grandeur que les quantités mesurées sur le site.

Rappelons ici notre objectif qui consiste en l'étude de différents scénario concernant la coupure de la digue-route. 3 cas sont étudiés :

digue route conservée (état actuel)
digue-route coupée sur une distance de 500 m.
digue-route coupée sur une distance de 1000 m.
Les résultats présentés sont infimes vis-à-vis des exploitations imaginables. Nous nous contentons de donner ici l'évolution des vitesses scalaires et vectorielles (en bleu) sur le fond (en rouge).
Digue complète :
Basse mer :
Entre Basse Mer et Haute Mer :
Avant la Pleine Mer :
Aprés la Pleine Mer :

A nouveau la Basse Mer :

Digue coupée de 500 m.

Basse Mer :

Entre Basse Mer et Pleine Mer

Pleine Mer

Aprés la Pleine Mer

Entre la Pleine Mer et la Basse Mer

Digue coupée de 1000 m.

Basse Mer :

Entre Basse Mer et Pleine Mer

Pleine Mer

Aprés la Pleine Mer

Entre la Pleine Mer et la Basse Mer

7.3.Conclusion

Notre étude n'a pu, faute de temps, se poursuivre au delà de l'estimation des courants traversiers au niveau de la digue-route.
Nous avons tout de même effectué une tentative d'étude de transport sédimentaire à l'aide du logiciel SUBIEF. Malheureusement, la complexité du modèle sédimentaire de la région du Mont-Saint-Michel ainsi que la difficulté d'assimilation du logiciel SUBIEF (surtout par manque d'une documentation aussi fournie en exemples que celle de Telemac2d) nous ont conduit à abandonner cette voie, les calculs réalisés étant systématiquement divergeants.

La différence entre les deux scénario de coupure ne se fait pas sentir sur l'ordre des courants traversiers que l'on peut majorer par une valeur d'environ 0,35 m/s (soit environ 0,67 noeuds) ce qui semble assez faible en dépit de l'effet de chasse important généré par le Couesnon. Une explication possible réside dans la bathymétrie choisie pour remplacer le troncon de digue manquant qui à arbitrairement été fixé à 5,5 m / 0 NGF.

Une différence notable est l'aménagement d'un passage á l'Est important pour le Couesnon dans le cas de la digue coupée sur 1 Km alors que l'effet est moindre dans le cas de l'autre coupure.

Il est clair que cette étude n'a produit qu'un modèle simpliste mais permettant de dégager déjà certaines conclusions intéressantes. Il montre que, pourvu que l'on ait du temps et donc de l'argent, la modélisation numérique permet de donner des réponses à des questions auxquelles on peut difficilement répondre.

8.Bibliographie

"Rétablissement du caractère maritime du Mont-Saint-Michel / Etude d'impact. Première partie. ANALYSE DE L'ETAT INITIAL". DDE SAINT-LÔ. (Manche)

Documentations du Système de Modélisation TELEMAC2D, RUBENS, STBTEL,TRIGRID, SUBIEF (bof!!)

Anne Marrossero & Steeve Champagneux. 25 février 1997. BEI SEE 1997