Dans cette partie, on étudie l'influence du schéma de discrétisation sur les résultats.

• Présentation des schémas
• Etude de la qualité conservative des schémas
• Calcul des erreurs sur la hauteur et sur la vitesse
• Comparaison des erreurs pour différents schémas
• Conclusion

  Présentation des schémas

Telemac2d possède de nombreux schémas numériques.

On spécifie le schéma numérique que l'on veut utiliser dans le fichier cas à l'aide des mots clés FORME DE LA CONVECTION et OPTION DE SUPG :

FORME DE LA CONVECTION

On choisit la forme de la convection pour les vitesses U et V puis pour la hauteur d'eau. On peut choisir entre les 5 éléments suivants :

• 1 : méthodes des caractéristiques
• 2 : schéma semi-implicite centré + décentrement supg
• 3 : schéma hybride (caractéristiques + supg)
• 4 : méthode F.C.T
• 5 : schéma conservatif + supg

Quelques remarques sur ces schémas :

• on ne peut utiliser 5 que pour la convection de la hauteur
• en général, on utilise le schéma 1 pour la vitesse et le schéma 2 pour la hauteur, mais si le nombre de courant est inférieur à un, on peut utiliser le schéma 4.

OPTION DE SUPG

Pour la configuration du schéma supg, on utilise la même méthode que précédemment avec les options suivantes :

• 0 : pas de décentrement
• 1 : décentrement avec la méthode supg classique (décentrement=1)
• 2 : décentrement avec la méthode supg modifiée (décentrement=nombre de courant)

Par la suite, on utilisera la convention suivante pour nommer les schémas : ils seront désignés par quatre chiffres 'abcd'.

• a : forme de la convection pour U et V
• b : forme de la convection pour H
• c : option de SUPG pour la convection de U et V (on notera "_" si cette option n'est pas utilisée)
• d : option de SUPG pour la convection de H (on notera "_" si cette option n'est pas utilisée)

Par exemple, schéma 15_1 : méthode des caractéristiques pour la vitesse (pas d'option pour SUPG) et schéma conservatif + SUPG classique (décentrement=1) pour la hauteur.

  Etude de la qualité conservative des schémas

On peut dans un premier temps regarder la conservation de la masse pour chaque schéma.

Conservation de la masse

Nous avons testé tous les schémas en relevant leur pourcentage d'erreur relative en volume (ce qui correspond à l'erreur relative en masse), après 150 itérations avec un pas de temps de 0.01s.

Voici les résultats :

• 11__  :   0.0155%
• 12_1  :   0.0557%
• 13_1  :   0.0209%
• 13_2  :   0.0273%
• 14__  :   0.0429%
• 15_1  : -0.00499%
• 15_2  : -0.0113%

On constate donc que ce sont les schémas conservatifs qui conservent le mieux la masse (ce qui paraît normal d'après leur nom). Mais de toute façon, même dans le pire des cas, la conservation de la masse reste bonne.

  Calcul des erreurs sur la hauteur et sur la vitesse

Pour pouvoir comparer les résultats obtenus avec différents schémas, on va calculer une erreur mesurant l'écart entre la solution numérique obtenue et la solution analytique.

Comme pour la solution analytique, ce calcul d'erreur est codé dans PRERES.f (par le biais des vecteurs F25 et F26) et on modifie la subroutine NOMVAR.f pour que les valeurs de ces vecteurs soient écrites dans le fichier de résultats (valeurs des erreurs en chaque points du maillage). On code également des erreurs cummulées sur tout le maillage qui seront écrites dans les fichiers ERREUR_H et ERREUR_V à chaque pas de sortie.

Il s'agit d'erreurs relatives pour la hauteur:

et d'erreurs globales pour la vitesse (pour éviter les problèmes de division par zéro):

Dans la section mediane (y=5m), on obtient par exemple pour le schema 11__ :

  Comparaison des erreurs pour les différents schémas

Nous avons testé les différents schémas pour un pas de temps de 0.01s. On superpose les résultats à t=0.5s, dans la section centrale.

Erreur relative sur la hauteur

Pour mieux voir la différence entre les différents schéma, on fait un zoom sur le pic principal :



C'est le schéma 15_2 qui semble le plus précis.

Erreur absolue sur la vitesse

On zoom là aussi sur le pic principal :

A nouveau le schéma 15_2 semble le plus précis.

Par la suite, on travaillera donc avec le schéma 15_2.

  Conclusion

Cette étude rapide des schémas nous a montré que même s'ils donnent des résultats différents, globalement les erreurs restent du même ordre pour chacuns d'entre eux.

On choisit pour la suite de l'étude de travailler avec le schéma 15_2, cependant il faut noter que ce choix s'est fait dans une "configuration numérique" donnée (maillage donné, pas de temps donné, instant de la simulation donné) et que peut-être que dans une autre configuration, ce schéma n'aurait pas été le meilleur.