BE INSTABILITE HYDRODYNAMIQUE
 
 L'ATTRACTEUR DE HENON 
 
 

Qui est Henon?

Michel Henon est astronome a l'observatoire de Nice. Pendant de longues annees, notamment dans les annees soixante,il a etudie la dinamiqque des etoiles se deplacant autour des galaxies, s'aidant des ordinateurs pour comprendre la stabilite de leur mouvement.

La propriété principale de ces systemes est la constance de l'energie de leur mouvement. En consequence de quoi leurs mouvements chaotiques ne sont pas decrits par de simple attracteurs mais par des objects plus difficiles a analyser et visualiser, existant sur des surfaces "d'energie" en trois ou plus dimension.

Il a decouvert en 1970 une surface construite a l'aide d'une simple chaine d'iteration qui revele un attracteur chaotic et qui lui permet de faire un lien direct entre le chaos deterministe et les fractals. Il porte son nom.
 
 
 

Les différentes sortes d'attracteurs

Il en existe de 4 sortes, le type est explicite , l'attracteur de HENON se trouvant dans la categorie 4 (strange attracteur).


 
 
 

L'attracteur de Henon: présentation

L'attracteur de Henon est un exemple de systeme simple qui revele un etrange comportement. L'orbite decrite a une forme de banane.

Les equations generant ces etranges phenomenes sont

x(n+1)=1-a*x(n)^2-y(n)
y(n+1)=x(n)

ou a et b sont des constantes initialement a 1.4 et 0.3 Pour toute valeur initiale, les points issus de l'iteration sont attires par la banane.

Quand on le dessine, il semble se materialiser de nulle part. La forme ne se construit pas de maniere continue, toutes les valeurs qui converge vers cette structure le font d'une maniere differente. L'attracteur de Henon montre aussi une infinite de fines structures, a mesure que on effectue des grossissements successifs.

La forme la plus classique:

En faisant varier les parametres a et b on obtient d'autres formes interessantes:
 
 

Equilibre

L'étude de l'équilibre étant complexe, nous nous sommes limités au cas b=1, qui conditionne la conservation de l'aire du systeme et on recherche les ponits fixes.

Notre but principal est de montrer mathématiquement la cascade de bifurcations (period doubling) qui se produit.

Apres une transformation du systeme d'equation, et on recherche les points fixes de l'application et de sa composee sur elle-meme pour faire apparaitre des point attracteurs de periode deux , ayant un critere de convergenece different et  traduisant le debut du phenomene de "period doubling".
 
 

 
 

Stabilité des points fixes

Certains sont stables, d'autres non. On a pu montre notamment la stabilite des points fixes pour a<4, concernant les attracteurs de periode 1.

L'etude trouvee dans la litterature est reproduite ci-dessous.
 
 

Visualisation

On a pu se rendre compte que les conditions initiales influaient sur la facon dont se forme la banane, mais pas sur la forme finale.
 
a=1.4 

b=0.3

diagramme   

de bifurcation

 

Autres bifurcations
 
  pour Henon
pour le "logistic map", 
la forme 1D correspondante
 

Poésie
 

Strange Attractors

How to find them, those regions
Of space where the equation traces
Over and over a kind of path,
Like the moth that batters its way
Back toward the light
Or, hearing the high cry of the bat,
Folds its wings in a rolling dive? 

And ourselves, fluttering toward and away
In a pattern that, given enough
Dimensions and point-of-view,
Anyone living there could plainly see--
Dance and story, advance, retreat,
A human chaos that some slight
Early difference altered irretrievably? 
For one, the sound of her mother
Crying. For this other,
The hands that soothed
When he was sick. For a third,
The silence that collects
Around certain facts. And this one,
Sent to bed, longing for a nightlight. 
Though we think this time to escape,
Holding a head up, nothing wrong,
Finding a way to beat the system,
Talking about anything else--
Travel, the weather, time
At the flight simulator--for some
The journey circles back 
To those strange, unpredictable attractors
Secrets we can neither speak nor leave. 

Robin s Chapman

    A Strange Attractor

When you watch a storm long enough a pattern emerges.  
When you give up hope of controlling it, you begin to see a beauty.  
A man named Edward Lorenz found a butterfly in the math of a storm -  
a pattern that wrapped around a single point forever and unrepetitive -  
infinite in finite space.  

He called it a strange attractor.  
He tried to turn a storm into a mathematical model, and the storm turned the equations into a butterfly and flew off.  
It was wrapping around itself, over and over again  
making the wings of a butterfly out of the equations of a storm.  
The storm would never travel the same path around a point yet never reach it.  
I never thought someone could make a butterfly out of a hurricane  
until I met you.  
You are the butterfly in the hurricane.  
You are my strange attractor. 

© Peter Moyes, 1997

Référence

"Strange attractors: creating patterns in Chaos" (M and T Books, 1993).
 

Variete des systemes dynamique


 
 

Produits

l'applet JAVA sur INTERNET

http://www.ton.scphys.kyoto-u.ac.jp/~nakao/java/Henon.html
 

Le logiciel permettant de tracer orbites et bifurcations des systemes classiques

les liens interessants sur Internet