METHODE DE CALCUL D'INSTABILITE

                                              

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THEORIE

Equilibre, stabilité

MATLAB

Programmation de la fonction, résolution du système, visualisation des résultats

RESULTATS

Solutions du système différentiel avec champ tournant

Solutions du système différentiel sans champ tournant: cas stables, instables, oscillant

Diagrammes de bifurcation


THEORIE

Le comportement de la boussole est régi par le système suivant :

Equilibre

Le système est en équilibre lorsque les dérivée première des 3 variables s'annulent. Or, ici la dérivée de FI est toujours égale à 1, ne trouvant pas de solutions, on impose Fi=0, c'est-à-dire que le champ magnétique a toujours la même direction, il n'y a pas de champ tournant. Le sytème revient alors à un pendule.

D'après les équations, le système est en équilibre lorsque les variables vérifient les conditions suivantes :

D'où, comme Q est non nul, :

Stabilité

Il faut calculer les valeurs de la matrice jacobienne aux points d'équilibre.

La matrice est de la forme :

-(M'+P).cos(Teta)

-Alfa

1

0

Soit Q=M'+P

Les valeurs propres Vi de cette matrice vérifient l'équation carctéristique suivante :

(Q.cos (Teta)+Vi).Vi+Alfa=0                       Equation1

avec Teta=k.Pi

Cas des racines réelles : Q.Q>4.Alfa

Si Teta=2.k.Pi, position basse

L'équilibre est donc stable, ce qui se confirme par la physique du rpoblème.

Si Teta=(2.k+1).Pi, position haute

L'équilibre est donc instable, ce qui se confirme par la physique du rpoblème, puisqu'un pendule laché en position haute aura tendance a redescendre en position basse.

Cas des racines imaginaires : Q.Q<4.Alfa

Le système est oscillant.

Conclusion

L'équilibre peut être stable, instable ou oscillant selon les valeurs des paramètres Alfa, Q et de Teta. Dans notre étude on fera varier Q et les conditions initiales.

Le premier point de bifurcation du système est tel que Q.Q=4.Alfa.

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MATLAB

Pour visualiser résoudre le système de la boussole et visualiser les bifurcations, on travaille sous Matlab. Dans cette partie, on explique rapidement le processus lorsqu'on garde le système entier (on garde Fi).

Programmation de la fonction

On programme la fonction suivante sous un fichier texte :

function dy = bouss(t,y)

Résolution du système

[T,Y]=ode15s('bouss',[0,1000],[100,100]);

Visualisation des résultats

Si on visualise Y(2) en fonction de Y(1) : plot(Y(:,2),Y(:,1),'-o')

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RESULTATS

Solutions du systèmes différentiel avec champ tournant

Y(1) en fonction de Y(2)

Y(3) en fonction de Y(2)

Y(2) en fonction de t

Y(1) en fonction de t

Les solutions obtenues paraissent aléatoires. En fait, le système de la boussole est bien chaotique et on va essayer de déterminer le diagramme de bifurcation.

Solutions du systèmes différentiel sans champ tournant

Diagramme des phases (Teta en fonction de sa dérivée), cas stable

TETA=2.PI                                

Le système converge donc vers un 2.PI pour ce cas avec Alfa=0.01 et Q=1, i.e. Q.Q>4.Alfa, c'est-à-dire que le système est stable avec pour condition initiale Teta=2.Pi, ce qui correspond à la théorie et à la physique d'un laché en position basse du pendule.

TETA=1                                      

Le système converge vers 0 pour ce cas avec Alfa=0.01 et Q=1, i.e. Q.Q>4.Alfa,et la condition initiale Teta=1.

Un autre cas stable est obtenu pour les même paramètres et une condition initiale Teta=Pi :

TETA=PI                                 

Ce cas converge vers 2.Pi, ce qui confirme la théorie et la physique d'un laché en position haute, qui est une position instable.

Diagramme des phases, (Teta en fonction de sa dérivée), cas instable

TETA=100                             

Le système diverge pour Alfa=0.01 et Q=1, i.e. Q.Q>4.Alfa, mais avec comme condition initiale Teta=100.

Diagramme des phases, (Teta en fonction de sa dérivée), cas oscillant

Le système oscille autours de 0 pour Q=0.1 et Alfa=1.

De même pour une condition initiale Teta=100rd, le système converge vers 34.Pi=2*17*Pi=100.53rd.

Ainsi, on constate que le système converge vers le multiple de 2.Pi le plus proche de sa condition initiale en Teta.

Diagramme de bifurcation

En faisant varier les solutions en fonction du paramètre Q par exemple, on pourrait obtenir les points de bifurcation.

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