ZOOLOGIE DES BIFURCATIONS DE L'EQUILIBRE

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LE ZOO DES SYSTEMES DYNAMIQUES

Les oscillateurs, les systèmes chaotiques, les formes normales, les systèmes de secours en 3D

LA BOUSSOLE

Description, équations d'évolution


LE ZOO DES SYSTEMES DYNAMIQUES

LES OSCILLATEURS

LES SYSTEMES CHAOTIQUES

LES FORMES NORMALES

LES SYSTEMES DE SECOURS EN 3D

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LA BOUSSOLE

Description

La boussole est une habile réalisation du pendule paramétrique permettant d'observer commodément et avec une précision convenable les comportements d'un systèmes à 3 degrés de libertés.

Un de ses aspects le splus séduisants est de tenir compte dans d'assez larges proportions de l'importance des frottements. Ceci autorise la mise en évidence et l'analyse de l'influence de la dissipation d'énergie lorsqu'on passe d'une situation conservative ou quasi-conservative (frottements nuls ou négligeables) à des configurations de plus en plus dissipatives.

Voici l'appareillage mis en oeuvre pour étudier les comportements dynamiques de la boussole :

    Explication du schéma de principe

    Le barreau aimanté , mobile autour de son axe, est soumis aux influences conjuguées d'un champ magnétique fixe et d'un champ magnétique tournant. La dissipation est contrôlée par la viscosité de l'huile introduite dans le palier. Le mouvement du barreau aimanté est mesuré par la force électromotrice qu'il induit dans deux bobines captrices. Cette tension x(t) est fonction de la vitesse instantanée de rotation de l'aimant. Un dispositif analogique permet d'en rendre la dérivée par rapport au temps. La fréquence du champ magnétique tournant sert de base de temps pour le déclenchement des deux convertisseurs analogique-numérique; ceci permet l'acquisition, dans la mémoire d'un micro-ordinateur, de x(t) et d(x(t))/dt à chaque période de rotation du champ. La section de Poincaré des trajectoires est alors obtenue en portant divers points (x(t) ; (x(t))/dt) ainsi enregistrés au cours d'une expérience de durée suffisante. On utilise la section de Poincaré car elle est pratique pour la modélisation puisqu'on passe d'un problème 3D à un problème 2D.

    Les champs fixe et tournant sont dus à 2 paire de bobines Helmholtz d'axes horizontaux verticaux perpendiculaires alimentés par des courants en quadrature de phase. Lews pivots de l'axe de l'aimant sont en rubis, de manière à ce que les frottements solides soient aussi faibles que possible. En immergeant le support inférieur de l'axe dans des huiles de viscositées différentes on a un moyen très simple de faire varier l'importance des frottements fluides et la dissipation d'énergie qui lui est associée. Le même appareil peut ainsi être rendu dissipatif, voire très dissipatif, ou, au contraire, ramené à un état conservatif (ou presque).

Equations d'évolution

Dans le cas où les frottements sont perfaitement négligeables et en se basant sur la loi fondamentale de la dynamique, on obtient l'équation d'évolution en considérant le système suivant :

Un barreau de moment d'inertie J et de moment magnétique M est soumis à un champ fixe d'induction B1 et à unb champ tournant de pulstaion Omega et d'inductionB0; les variations Teta qu'il fait avec une direction donnée dans le plan horizontal sont gouvernées par l'équation différentielle suivante :

On se place alors sous forme adimensionnelle en posant :

1/Omega est pris pour unité de temps.

En posant l'hypothèse d'indépendance des champs fixe et tournant vis-à-vis de la position de l'aimant, on obtient :

On prend alors en compte les frottements fluides et on introduit le terme de freinage :

Cette équation non-autonome du 2ème ordre est équivalente à un flot dans R3 qui peut s'écrire à l'aide de trois variables :

C'est un système non-linéaire à trois degrés de liberté.

Fi représente l'angle que fait le champ magnétique tournant avec une direction fixe du plan, c'est pourquoi la solution du flot est toujours périodique dans la direction Fi : constatation somme banale puisqu'elle traduit simplement le carctère périodique de la contraine imposée à l'aimant. On remarque en outre qu'à champ tournant nul P=0, (I) se ramène à l'équation du pendule simple amorti.

Une fois choisi le barreau aimanté, c'est-à dire fixées les valeurs de J et M', et la pulsation Omega de courant alternatif, les paramètres de contrôle dont dispose l'expérimentateur sont les inductions B0 et B1 des champs tournant et fixe. Celles-ci sont modifiables à volonté en faisant varier l'intensité du courant électrique traversant les bobines exciattrices. On peut donc jouer à loisir sur les paramètres M' et P du flot pour mettre en évidence expérimentalement les divers régimes dynamiques possibles, ainsi que l'enchainement des bifurcations qui y conduisent.

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