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J'ai choisi de m'intéresser à l'attracteur
de Lorenz. Ce cas représente est un exemple typique de système
dynamique chaotique.
E. N. Lorenz proposa en 1963 une modélisation
très simplifié régissant les rouleaux de convections
dans l'athmosphère dans le but d'améliorer les prévision
météorologiques à long terme.
Il s'agit en fait du problème de convection de Rayleigh Benard.
Les équations proposées par Lorenz sont
les suivantes :
Lorenz mit ainsi à jour le comportement chaotique
de ces équations. Il détermina en effet que les trajectoires
de ce système peuvent, sans diverger grossièrement, ne jamais
converger vers une limite stable. Un tel comportement était, dans
les années 60, quasiment inconnu des mathématiciens malgré
les avancées de H. Poincaré dans la théorie du chaos
au tout début du XXe siècle.
Le comportement chaotique de l'attracteur de Lorenz illustre
bien "l'effet papillon". La précision d'une quelconque prévision
diminue exponentiellement avec l'étendue de la prévision.
La sensibilité des équations aux valeurs initiales est d'ailleurs
très marquée.
Aujourd'hui, l'attracteur de Lorenz est l'exemple type des système chaotiques et à ce titre il a été très largement étudié et représenté.
Il existe un autre phénomène qui aboutit aux équations de Lorenz. Il s'agit de la roue à eau (waterwheel). Ce modèle des équations de Lorenz fut inventé par Willem Malkus et Lou Howard dans les années 1970.
Il s'agit d'obtenir le système d'équations différencielles à partir de la mise en équation du système physique.
Equation de Navier Stockes :
Les conditions aux limites sont les suivantes :
rho est la masse volumique du fluide, mu sa viscosité,
P est la pression, K représente la conductivité thermique,
et F=rhoge est la force de gravité.
Le terme non linéaire est
Des hypothèses simplificatrices sont émises
:
le problème
est invariant par translation suivant y
les diverses
coefficients sont indépendants de delta T (sauf rho dans l'approximation
de Boussinesq)
L'équation de continuité devient alors :
On introduit alors la fonction de courant psi
L'équation de continuité est alors automatiquement vérifiée.
En introduisant la fonction teta, on exprime alors la température sous la forme suivante :
Avec les deux dernières équations, on obtient :
Avec
Afin de simplifier les équations, Lorenz choisit
des conditions aux limites libres :
Et il ne tenu compte que des termes du plus petit ordre
dans le développement de Fourier de psi et teta. On obtient alors
:
Il s'agit d'étudier la stabilité du système dynamique :
Les trois paramètres (,
r et b) sont des réels positifs. Les valeurs choisies par Lorenz
sont sigma=10, b=8/3 et r=28, mais dans le contexte de la théorie
des bifurcations, on fixe généralement sigma et b tandis
que r peut varier.
Les équations de Lorenz sont symétriques
par la transformation (x,y,z) ---> (-x,-y,z), cette remarque sera utile
par la suite.
Ces équations admettent trois points fixes C1,
C2 et C3 :
C1=(0,0,0)
C2/3=(+/-sqr(b*(r-1);+/-sqr(b*(r-1);r-1)
Pour C2 et C3, il faut R>1.
Pour le premier point fixe, l'analyse linéaire
montre facilement que ce point est stable si 0<r<1 et devient instable
par une bifurcation fourche en r=1 en créant les deux points fixes
C2 et C3 quit sont (initialement) stables.
Pour étudier la stabilité de ces deux points
fixes, il faut étudier le Jacobien du système :
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0 |
r-z | -1 | -x |
y | x | -b |
Les valeurs propres sont données par l'équations
suivante : s3+(+b+1).s2+b.(
+r).s+2.
.b.(r-1)=0
Bifurcations :
Etude
graphique de la stabilité
Il existe de nombreuse possibilité pour représenter
l'attracteur de Lorenz. On peut par exemple utiliser Matlab qui resoudra
les équations de Lorenz avant d'en faire une représentation
graphique, on peut aussi écrire un petit programme
qui résoud les équations puis tracer le résultat avec,
par exemple Gnuplot, ou encore utiliser un des nombreux logiciel permettant
l'étude de système dynamique, ou enfin directement sur Internet
où il existe de nombreuses consoles Java permettant de représenter
l'attracteur de Lorenz.
* Pour r=28 :
La solution oscille tantôt autour du point fixe
C1, tantôt autour du point fixe C2. Il est impossible de prévoir
à l'avance (en connaissant toutes les conditions initiales) l'alternance
de ces oscillations : le système est chaotique.
* Pour r=24,06 :
La solution oscille tantôt autour du point fixe
C1, tantôt autour du point fixe C2. Il est impossible de prévoir
à l'avance (en connaissant toutes les conditions initiales) l'alternance
de ces oscillations : le système est chaotique.
*r=19 et x0=20,1 y0=-5, z0=5
*r=19 et x0=20 y0=-5, z0=5
Par rapport au graphe précédent, celui-ci illustre bien l'extrême sensibilité du système aux conditions initales. Le système converge vers l'autre point fixe par rapport au cas précédent bien que les conditions initiales soient quasiments identiques.
*r=13
Avec les conditions initiales choisies, le système
est stable. Il converge vers un point fixe sans avoir jamais oscillé
autour de l'autre point fixe. Le système n'est plus dans le domaine
du chaos transitoire.
*r=1
Pour r=1, le système est trés stable. Il
converge directement vers le point fixe (0,0,0), et ce quelques soient
les conditions initiales.
Représentations
graphiques des bifurcations :
Conclusion
- Exemples graphiques
Ce B.E. a été trés intéressant.
Il m'a permet vraiment de découvrir à quel point les systèmes
dynamiques sont étudiés dans le monde. Il s'agit d'un domaine
de la science encore récent, mais de nombreux chercheurs s'y intéresse.
Les attacteurs étranges ont "vue le jour" presque
par hasard avec l'étude d'E. Lorenz sur les modèles atmosphérique,
mais depuis cette date, 1963, le domaine du chaos a progressé trés
rapidement.
Malgré l'aspect chaotiques
des lois gouvernant le climat, il est heureux que l'on puisse tout de même
établir des prévisions relativement fiable.
To the often-heard question, "Why
can't we make better weather forecasts ? " I have been tempted to reply,
"Well, why should we be able to make any forecast at all ?
Les images suivantes sont accessibles sur le site : http://www.cg.tuwien.cg.ac.at/studient/work/VisSem97/Lorenz97/lorenz.htm
R=19 | ![]() |
R=24 | ![]() |
R=0,5 - Convergence vers le point fixe (0,0,0) | ![]() |
R=6 - On distingues bien les 2 points fixes C1 et C2 | ![]() |
R=19 | ![]() |
R=24 | ![]() |
R=28 | ![]() |
Les images suivantes sont accessibles sur le site : http://pineapple.apmaths.uwo.ca/~blair/source.html
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http://www.cg.tuwien.ac.at/studentwork/VisSem97/Lorenz97/lorenz.html
http://geosys.mit.edu/~mantle/edlorenz.html
http://puddle.mit.edu/~glenn/lorenz/
http://www.susqu.edu/facstaff/b/brakke/complexity/harris/lorenz.htm
http://www.ncsa.uiuc.edu/SCMS/DigLib/text/chaos/Lorenz-Attractor-Hobill2.html
http://pineapple.apmaths.uwo.ca/~blair/lorenzintro.html
http://pineapple.apmaths.uwo.ca/~blair/source.html
http://library.advanced.org/11679/cgi-bin/tpagen.cgi?sctn=19&page=2
http://www.update.uu.se/~benis/lorenz/lorenz.html
http://math.gmu.edu/~jtopp/project4.html
http://haides.caltech.edu/~mcc/chaos_new/Chaos_demos.html