B.E. INSTABILITE HYDRODYNAMIQUE
 
 
 
 
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    Introduction

    J'ai choisi de m'intéresser à l'attracteur de Lorenz. Ce cas représente est un exemple typique de système dynamique chaotique.
    E. N. Lorenz proposa en 1963 une modélisation très simplifié régissant les rouleaux de convections dans l'athmosphère dans le but d'améliorer les prévision météorologiques à long terme.
     
     

     
     

    Il s'agit en fait du problème de convection de Rayleigh Benard.

    Les équations proposées par Lorenz sont les suivantes :
     

     
     
    Lorenz expérimenta alors ce résultat en effectuant une résolution numérique de ces équations sur un des premier ordinateurs, le "Royal Mc Bee". Son programme utilisait en fait douze équations non linéaires (les trois équations ci-dessus résume en fait le résultat obtenu par Lorenz). Il entra ensuite des conditions initiales et stocka les résultats obtenus.
    Par la suite, Lorenz voulu retrouver un résultat intéressant dont il avait imprimé les valeurs, il lança à nouveau son programme, mais il obtient des résultats différents ! Lorenz pensa tout d'abord à un bug : diode défectueuse, tube à vide grillé, rayons cosmiques ... Finalement il réalisa que cette différence était due au fait que l'ordinateur utilisait 6 chiffres significatifs, alors que les résultats imprimés dont il avait repris les valeurs n'avait que trois chiffres significatifs. Lorenz réalisa alors que le système était extrèmement sensible aux conditions initiales.

    Lorenz mit ainsi à jour le comportement chaotique de ces équations. Il détermina en effet que les trajectoires de ce système peuvent, sans diverger grossièrement, ne jamais  converger vers une limite stable. Un tel comportement était, dans les années 60, quasiment inconnu des mathématiciens malgré les avancées de H. Poincaré dans la théorie du chaos au tout début du XXe siècle.
    Le comportement chaotique de l'attracteur de Lorenz illustre bien "l'effet papillon". La précision d'une quelconque prévision diminue exponentiellement avec l'étendue de la prévision. La sensibilité des équations aux valeurs initiales est d'ailleurs très marquée.

    Aujourd'hui, l'attracteur de Lorenz est l'exemple type des système chaotiques et à ce titre il a été très largement étudié et représenté.

    Il existe un autre phénomène qui aboutit aux équations de Lorenz. Il s'agit de la roue à eau (waterwheel). Ce modèle des équations de Lorenz fut inventé par Willem Malkus et Lou Howard dans les années 1970.

     
     

    Présentation du problème

    Il s'agit d'obtenir le système d'équations différencielles à partir de la mise en équation du système physique.

    Equation de Navier Stockes :

     
     

    Les conditions aux limites sont les suivantes :

    rho est la masse volumique du fluide, mu sa viscosité, P est la pression, K représente la conductivité thermique, et F=rhoge est la force de gravité.
    Le terme non linéaire est
    Des hypothèses simplificatrices sont émises :
            le problème est invariant par translation suivant y
            les diverses coefficients sont indépendants de delta T (sauf rho dans l'approximation de Boussinesq)

    L'équation de continuité devient alors :

     

    On introduit alors la fonction de courant psi

    L'équation de continuité est alors automatiquement vérifiée.

    En introduisant la fonction teta, on exprime alors la température sous la forme suivante :

     

    Avec les deux dernières équations, on obtient  :

     

     

    Avec

     

    Afin de simplifier les équations, Lorenz choisit des conditions aux limites libres :
     

     

    Et il ne tenu compte que des termes du plus petit ordre dans le développement de Fourier de psi et teta. On obtient alors :
     

     
    Dans ces équations,  est le nombre de Rayleigh, a est l'aspect ratio et Si l'on applique le résultats de ces deux équations aux équations de la dérivée de psi et teta en négligeant les harmoniques, on obtient finalement les équations de Lorenz
     

     

     
     

    Etude de stabilité

    Il s'agit d'étudier la stabilité du système dynamique :

    Les trois paramètres (, r et b) sont des réels positifs. Les valeurs choisies par Lorenz sont sigma=10, b=8/3 et r=28, mais dans le contexte de la théorie des bifurcations, on fixe généralement sigma et b tandis que r peut varier.
    Les équations de Lorenz sont symétriques par la transformation (x,y,z) ---> (-x,-y,z), cette remarque sera utile par la suite.
    Ces équations admettent trois points fixes C1, C2 et C3 :
    C1=(0,0,0)
    C2/3=(+/-sqr(b*(r-1);+/-sqr(b*(r-1);r-1)

    Pour C2 et C3, il faut R>1.
    Pour le premier point fixe, l'analyse linéaire montre facilement que ce point est stable si 0<r<1 et devient instable par une bifurcation fourche en r=1 en créant les deux points fixes C2 et C3 quit sont (initialement) stables.
    Pour étudier la stabilité de ces deux points fixes, il faut étudier le Jacobien du système :
     

    -   0
    r-z -1 -x
    y x -b
     
     

    Les valeurs propres sont données par l'équations suivante : s3+(+b+1).s2+b.(+r).s+2..b.(r-1)=0
     

    Bifurcations :
     

     
     
     

    Etude graphique de la stabilité
     
    Il existe de nombreuse possibilité pour représenter l'attracteur de Lorenz. On peut par exemple utiliser Matlab qui resoudra les équations de Lorenz avant d'en faire une représentation graphique, on peut aussi écrire un petit programme qui résoud les équations puis tracer le résultat avec, par exemple Gnuplot, ou encore utiliser un des nombreux logiciel permettant l'étude de système dynamique, ou enfin directement sur Internet où il existe de nombreuses consoles Java permettant de représenter l'attracteur de Lorenz.

    * Pour r=28 :

    La solution oscille tantôt autour du point fixe C1, tantôt autour du point fixe C2. Il est impossible de prévoir à l'avance (en connaissant toutes les conditions initiales) l'alternance de ces oscillations : le système est chaotique.
     

    * Pour r=24,06 :

    La solution oscille tantôt autour du point fixe C1, tantôt autour du point fixe C2. Il est impossible de prévoir à l'avance (en connaissant toutes les conditions initiales) l'alternance de ces oscillations : le système est chaotique.
     

    *r=19 et x0=20,1 y0=-5, z0=5

     
     
    Ici, le système n'est plus chaotique. Il finit par converger vers un des deux points fixes aprés avoir sauter brusquement d'un point à l'autre (cf. diagramme de bifurcation : chaos transitoire).
     

    *r=19 et x0=20 y0=-5, z0=5

    Par rapport au graphe précédent, celui-ci illustre bien l'extrême sensibilité du système aux conditions initales. Le système converge vers l'autre point fixe par rapport au cas précédent bien que les conditions initiales soient quasiments identiques.

     
    *r=13

    Avec les conditions initiales choisies, le système est stable. Il converge vers un point fixe sans avoir jamais oscillé autour de l'autre point fixe. Le système n'est plus dans le domaine du chaos transitoire.
     

    *r=1

    Pour r=1, le système est trés stable. Il converge directement vers le point fixe (0,0,0), et ce quelques soient les conditions initiales.
     

    Représentations graphiques des bifurcations :
     

     
     

    Conclusion - Exemples graphiques
     
     Ce B.E. a été trés intéressant. Il m'a permet vraiment de découvrir à quel point les systèmes dynamiques sont étudiés dans le monde. Il s'agit d'un domaine de la science encore récent, mais de nombreux chercheurs s'y intéresse.
    Les attacteurs étranges ont "vue le jour" presque par hasard avec l'étude d'E. Lorenz sur les modèles atmosphérique, mais depuis cette date, 1963, le domaine du chaos a progressé trés rapidement.
     

    Malgré l'aspect chaotiques des lois gouvernant le climat, il est heureux que l'on puisse tout de même établir des prévisions relativement fiable.
    To the often-heard question, "Why can't we make better weather forecasts ? " I have been tempted to reply, "Well, why should we be able to make any forecast at all ?

    Edward N. Lorenz, The essence of Chaos
     
     
    Exemples de représentations graphiques

    Les images suivantes sont accessibles sur le site : http://www.cg.tuwien.cg.ac.at/studient/work/VisSem97/Lorenz97/lorenz.htm
     
    R=19
    R=24
    R=0,5 - Convergence vers le point fixe (0,0,0)
    R=6 - On distingues bien les 2 points fixes C1 et C2
    R=19
    R=24
    R=28
     
     
     

    Les images suivantes sont accessibles sur le site : http://pineapple.apmaths.uwo.ca/~blair/source.html  
     
     

     
     
    Quelques sites intéressants :

    http://www.cg.tuwien.ac.at/studentwork/VisSem97/Lorenz97/lorenz.html
    http://geosys.mit.edu/~mantle/edlorenz.html
    http://puddle.mit.edu/~glenn/lorenz/
    http://www.susqu.edu/facstaff/b/brakke/complexity/harris/lorenz.htm
    http://www.ncsa.uiuc.edu/SCMS/DigLib/text/chaos/Lorenz-Attractor-Hobill2.html
    http://pineapple.apmaths.uwo.ca/~blair/lorenzintro.html
    http://pineapple.apmaths.uwo.ca/~blair/source.html
    http://library.advanced.org/11679/cgi-bin/tpagen.cgi?sctn=19&page=2
    http://www.update.uu.se/~benis/lorenz/lorenz.html
    http://math.gmu.edu/~jtopp/project4.html
    http://haides.caltech.edu/~mcc/chaos_new/Chaos_demos.html