Le systeme de Lorenz est un exemple celebre de systeme differentiel au comportement chaotique pour certaines valeurs de parametres. Lorenz a publie ses travaux en 1963. A l'epoque, il n'avait pu calculer que 500 iterations. La trajectoire n'avait alors decrit que quelques boucles. Pourtant, il avait deja prevu la structure de boucles imbriquees de l'attracteur.
    Le but de cette etude est d'identifier les principales proprietes du systeme de Lorenz a l'aide de la theorie des systemes dynamiques, de visualiser l'attracteur et de retrouver grace a la simulation les resultats theoriques. La simulation du comportement de ce systeme est a l'aide d'un programme ecrit en FORTRAN.
 
 
 

Un peu de physique

    Nous allons tout d'abord preciser, sans detailler les calculs, l'origine physique de ce systeme d'equations. Il s'agit, en fait d'un modele simplifie de la convection de Rayleigh Benard. Voici la succession d'etapes permettant d'aboutir, au systeme de Lorenz:

    Equations de Navier-Stokes ecrites pour un fluide incompressible et dotee de l' approximation de Boussinesq, permettant de prendre en compte les effets de flottabilite.

Introduction de fonctions courants

Utilisation de conditions aux limites libres

Decomposition en series de Fourier des fonctions courants

Prise en compte des termes de plus faible ordre

Introduction des nombres adimensionnels de Rayleigh et Prandtl
 
Le systeme de Lorenz s'ecrit alors: 
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Analyse du systeme

L'espace des phases est tridimensionnel (x,y,z). L'espace de controle est tridimensionnel (b,r,sigma).

Determination des points fixes:

un point fixe evident: (0,0,0)
deux autres points fixes, determines par les racines du polynome:, c'est a dire

Stabilite des points fixes:

Pour r<1, l'origine est stable et devient instable a r=1: bifurcation fourche vers les deux autres points fixes.
Pour les points fixes C+/-, ecrivons la matrice jacobienne du systeme:Les valeurs propres de cette matrice sont les racines du polynome caracteristique: 
 pour s=0 on retrouve r=1 et la birufcation fourche associee, pour s=iw, en annulant partie reelle et imaginaire, on obtient le systeme d'equations:ce qui donne: et un R critique vers une bifurcation de Hopf: 
 
Application numerique: pour sigma=10 et b=8/3, Rh vaut environ 24.74
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Description du programme
 
    Le programme est ecrit en FORTRAN 90. Il permet de simuler le comportement du systeme de Lorenz pour une condition initiale et les parametres de controle r, sigma, b donnes. Il permet de tracer un diagramme de bifurcation en tracant x en fonction de r, pour un meme nombre d'iterations fixe par l'utilisateur. Dans les deux cas, il est possible de choisir entre deux methodes d'integration: Euler, precise au premier ordre; Runge Kutta d'ordre 4 precise au quatrieme ordre. Les resultats fournis sont ecrits dans les fichiers PTS, RESULT et BIFURC.
    La visualisation se fait a l'aide du programme GNUPLOT du domaine public.

    programme principal      main.txt
    subroutine Euler             integ.txt
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Etude du systeme dynamique

La methode d'etude courante de ce systeme est de fixer les valeurs de b et de sigma, respectivement à 8/3 et 10, et de
faire varier r.

Comportement du systeme: pour une meme condition initiale (5,-5,20) et pour trois valeurs de r: (la methode employee est celle d'Euler, le pas de temps est 5e-4, 200000 iterations sont calculees)

r=0.5 

r=10 

r=28 
 

Pour r=0, le systeme converge vers l'origine point, fixe.
Pour r=10, deux nouveaux points fixes apparaissent formant deux bassins d'attraction
Pour r=28, les trajectoires forment deux boucles imbriquées entre elles. L'attracteur est dit etrange. Cette courbe est une fractale. Pour un temps infini, la trajectoire ne quittera pas le volume fini decrit par l'attracteur, de plus elle ne coupera jamais une trajectoire deja decrite. sommaire

Etude des bifurcations

Il s'agit de  retrouver a l'aide du programme, les seuils de bifurcation et la nature de ces dernieres. Afin d'augmenter la precision des calculs et du trace, les simulations ont ete faites avec la methode de Runge Kutta et 50000 iterations.

r=1 Bifurcation fourche , elle est nettement identifiable sur l'image ci-dessous. (r varie avec un pas de 0.01)

Trace de x apres de 50000 iterations en fonctions des valeurs de r.

 
La premiere bifurcation fourche pour r=1 est bien decrite. En revanche, le système passe brutalement d'un equilibre a un autre pour r=5. De plus la bifuraction de Hopf predite pour r=24.74 n'apparait pas. Un etat chaotique apparait pour r=22 environ

r=22.74 Bifurcation de Hopf

Au vu des resultats precedents, la methode de trace de bifurcation a ete changee. Au lieu de partir toujours de la meme condition initiale a chaque augmentation de r, pour r+delta(r) le systeme part de la condition initiale qui etait l'etat final du systeme pour r. Entre deux iterations sur r, 50000 iterations sont calculees a r constant. La condition initiale (pour r=0) est choisie proche du point fixe origine ( 0,1e-06,0).
 
 

Cette fois, le systeme reste sur la meme branche avant de bifurquer vers un etat chaotique. Le seuil de bifurcation est aux alentours de 25. Il est tres difficile de retrouver la valeur critique directement: enfin le Rayleigh critique 24.74 correpond au cas limite: le systeme diverge au bout d'un temps infini. La premiere bifurcation fourche est moins bien visualisee que precedemment. La nature de la bifurcation de Hopf n'est pas clairement identifiable. sommaire  

Conclusion

La puissance de calcul des ordinateurs n'a plus rien a voir avec celle dont disposait Lorenz en 1963. Aujourd'hui avec un simple micro-ordinateur, il est possible de calculer rapidement des millions d'iterations et de visualiser ainsi l'attracteur completement forme. Cette experience numerique permet de retrouver les resultats theoriques.

Une question reste entiere: la denomination d'effet papillon decouvert par Lorenz et traduisant la tres grande sensibilite aux conditions initiales d'un systeme est-elle due a la forme de l'attracteur et de ses deux "ailes" ?
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Bibliographie

James GLEICK       La theorie du Chaos
Benoit Mandelbrot  Les objets fractals
Glendinning             Stability, Unstability and Chaos  sommaire