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La symétrie entrant en jeu

Nous allons dans cette partie aborder la notion de symétrie dans les bifurcations . Avant cela, donnons quelques rappels concernant la symétrie en général. Placons nous dans l'espace $I\!\!R^3$ et prenons un point M de coordonnées (x,y,z). Observons sur un graphique plusieurs symétries:

\psfig {figure=symetrie.ps,height=10cm,width=13cm}

Une symétrie est une application linéaire bijective d'un espace E dans lui-même : on appelle cela en mathématiques, un automorphisme de E. Linéaire signifiant ici, que S(M+P)=S(M)+S(P) . Dans le cas de notre figure où $E=I\!\!R^3$, nous pouvons écrire une symétrie sous la forme d'une matrice, dans la base canonique (e1,e2,e3) associée à $I\!\!R^3$.

Nous pouvons regrouper toutes les symétries de la figure dans un tableau :

$
\left\vert
\begin{array}
{ccc}
(x,y,z) & 
\left(
\begin{array}
{ccc}
1 & 0 & 0...
 ...nd{array}\right) 
& symetrie ponctuel de centre O \\  
 \end{array}\right\vert
$



Nous allons maintenant appliquer le concept de symétrie aux systèmes dynamiques. Soit $\cal F $ l'ensemble des solutions d'une équation différentielle (E) donnée . $\cal F $ est un espace de fonctions de dimension finie . Soit $ \cal S$ l'ensemble des symétries de $\cal F $ i.e. des applications S de $\cal F $ dans $\cal F $ qui sont des symétries.

Nous dirons que le système est invariant par symètrie si :

x est solution de léquation (E), alors il existe $ S \in \cal S $ telle que S(x) soit aussi solution de (E)



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Olivier Thual
6/24/1998