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Étude d'une bifurcation à partir du schéma des valeurs propres dans le plan complexe


Nous sommes maintenant capable de fournir une étude efficace d'une bifurcation à partir de la matrice jacobienne A définie en 3.1 : pour cela nous représentons le schéma des valeurs propres dans le plan complexe du système au repos, et du système lorsqu'il se déstabilise.

Regardons sur un exemple dans un espace des phases de dimensions trois, pour un système présentant une valeur propre réelle, et deux valeurs propres complexes conjuguées. Deux cas se présentent alors:

Soit le système se déstabilise par passage de l'axe des ordonnées de sa valeur propre réelle

\psfig {figure=val_rel.ps,height=10cm,width=9cm}


deux sous-cas :

Soit il n'y a pas eu de brisure de symétrie dans l'évolution du système : on a alors affaire à une bifurcation noeud-col

Soit il y a eu effectivement brisure de la symétrie sous jascente : on est en présence d'une bifurcation fourche.


Soit il perd sa stabilité par passage des deux valeurs propres complexes conjuguées

\psfig {figure=val_comp.ps,height=10cm,width=9cm}


Il y a alors eu une bifurcation de Hopf.



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Olivier Thual
6/24/1998