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Codimension et notion de Généricité

Considérons un espace E de dimension n. Pour tout sous-espace S de E, nous définirons la codimension de S comme la dimension de E moins la dimension de S :

codim S = dim E - dim S

Par exemple, dans un espace de dimension 2, le point aura une codimension de 2, la droite une codimension de 1. Jusque là rien de bien étonnant.

Nous allons voir que l'on peut appliquer cette notion de codimension aux bifurcations, et qu'elle va se revéler d'une grande utilité.

Comme nous l'avons vu précédemment, à chaque problème correspond un espace de contrôle particulier, donc un nombre de paramètres à chaque fois différent. C'est précisemment ici que la notion de codimension va devenir judicieuse : nous ne repèrerons plus une bifurcation par rapport à la dimension de l'espace de controle, mais par rapport à sa codimension dans cet espace. Cela présente deux avantages :

le premier ,c'est que le traitement de la bifurcation s'en trouve très nettement simplifié.

le second ,c'est que l'on va pouvoir introduire une nouvelle notion : la généricité.

Lorsqu'un phénomène possède un très grand nombre de comportements possibles, il devient très difficile de s'y retrouver et de fournir une analyse pertinente, sans avoir à s'embarquer dans de multiples cas, au risque d'endormir son auditoire. Aussi, s'est-on souvent attaché en sciences, à faire ressortir les comportements les plus fréquents d'un système, afin d'avoir rapidement une vision globale du problème. C'est précisément ce que la notion de généricité sous-entend.

On peut démontrer que "typiquement", seules les trois bifurcations que nous avons présentées se produisent lorsqu'un système se déstabilise. Mais il n'est pas vrai que tout système ne peut se déstabiliser que selon ces trois cas. On peut facilement imaginer des choses plus compliquées. Ici intervient le mot "typique". Dans un sens que l'on peut rendre parfaitement précis, on peut montrer que ces exceptions sont rares. Si la bifurcation noeud-col, la bifurcation fourche et celle de Hopf sont des pièces de monnaies qui attérissent sur pile ou face, les exceptions sont alors une pièce de monnaie qui atterrit sur la tranche. Cela peut arriver, mais c'est très rare.

C'est pour cela que l'on qualifie nos trois bifurcations de génériques : c'est elles que l'on rencontrera de facon générale.

Nous pouvons maintenant revenir sur la codimension de notre bifurcation. Une bifurcation sera générique si elle est de codimension 1 : cela n'est que la traduction géométrique du fait qu'elle n'est pas trop rare. Tout ce qui sera de codimension supérieur ou égal à deux ne sera pas générique.

Nous pouvons visualiser cela sur le diagramme suivant :

\psfig {figure=diag_gene.ps,height=10cm,width=12cm}


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Olivier Thual
6/24/1998