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INTRODUCTION ET MOTIVATION

Nous allons décrire ici un aspect fondamentale de l'étude des systèmes dynamiques : la notion de bifurcation. Elle apparaît chaque fois que l'on fait varier les paramètres $ \overrightarrow{\beta} = (\beta_1,...,\beta_k) $ de l'espace de contrôle du système. Dans la plupart des cas, le fait d'agir sur $ \overrightarrow{\beta} $ n'engendre qu'une modification continue du système: autant dire pas de boulversements conséquents du comportement.

Par contre, certaines valeurs des paramètres, appelées valeurs critiques, ont un effet beaucoup plus flagrant sur le système: la solution de l'équation ou du système d'équations change qualitativement: on dira qu'il y a bifurcations.

Nous allons commencer par observer ce phénomène sur trois équations différentielles très simples dans un espace des phases de dimension 1.

Puis, nous verrons comment généraliser cette étude à des systèmes de dimension plus grande.

Enfin, nous terminerons ce chapitre par un résultat fondamental sur les systèmes dynamiques : de facon générale (dans un sens que nous préciserons), toutes études de bifurcation se ramène aux trois possibilités présentées dans la première partie.




Olivier Thual
6/24/1998