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Démarche générale d'étude d'une bifurcation en dimension 1


Comment entreprendre l'étude de notre système $ \dot x = f_{\overrightarrow{\beta}}(x) $ ? Remarquons tout d'abord, que nous serons généralement en présence d' équations différentielles ordinaires non linéaires et qu'il n'existe pas de méthodes systématiques de résolution de ce type d'équations . Que faire alors? Comme le faisait remarquer Henri Poincaré, mathématicien précurseur dans l'étude des systèmes dynamiques, lorsque l'on est confronté à quelquechose de compliqué, il faut trouver une brèche qui permette d'avancer dans l'étude du problème.


LA RECHERCHE DES POINTS FIXES

Notre faille à nous sera la recherche des points fixes du système; en effet, dans un système dynamique, où beaucoup de chose sont en mouvement, les choses les plus faciles à détecter et à étudier sont celles qui sont immobiles.



ÉTUDE DE LA STABILITÉ DE CES POINTS

Une fois que nous connaîtrons les points fixes, il nous faudra étudier leur stabilité, c'est-à-dire comment une faible perturbation en ces points influence-t-elle l'évolution du système?



DIAGRAMME DE BIFURCATION ET INTERPRÉTATION

Nous pourrons alors en déduire un diagramme qui résumera toute l'information sur la bifurcation et comprendre de ce fait, comment évolue le système.Une convention consistera à tracer le variété stable en trait plein bleu, alors que la variété instable sera en pointillé bleu. Les flèches rouges fairont apparaître la tendance des différents points du diagramme.


plus de détails...

DE L'ÉTUDE DES POINTS FIXES ET DE LEUR STABILITÉ.

Nous allons montrer dans cette partie, pourquoi l'étude des points fixes est en faite une démarche naturelle. Cette partie est un peu plus technique, sans être très difficile.

Considérons donc notre équation dans un espace des phases de dimension 1 : $ \dot x = F_{\overrightarrow{\beta}}(x) \hspace{1cm} (E)$

Pour pouvoir mener notre étude en détail, nous allons commencer par changer l'écriture de l'équation (E) :

Nous écrirons $ \frac{dx}{dt} = F(\overrightarrow{\beta},x) $ c'est-à-dire que nous faisons à partir de maintenant apparaitre explicitement F comme fonction,non seulement de x, mais aussi des paramètres qui rentrent en jeu.

Pour montrer que la dynamique est entièrement déterminée par la nature et la position des points fixes, nous introduisons la fonction potentielle $G_{\overrightarrow{\beta}}(x)$ dont F dérive :

$G_{\overrightarrow{\beta}}(x) = - \int F_{\overrightarrow{\beta}} dx$

Pour des paramètres $\overrightarrow{\beta_0}$ fixés ,un zéro de F sera donc :


soit un minimum local de G i.e. un point fixe stable de F ou attracteur


soit un maximum local de G i.e. un point fixe instable de F


soit un point d'inflexion de G i.e. ce que l'on appelera un point fixe semi-stable de F ou encore, attracteur vague.

\psfig {figure=schema_potentiel.ps,height=8cm,width=16cm}












comme on peut le voir sur le schema.

On comprend donc mieux maintenant pourquoi l'étude des points fixes de F : on a, en ces points, toute l'information nécessaire à l'étude de la dynamique du système.

Pour bien voir l'influence des paramètres $ \overrightarrow{\beta} $ ,représentons F et G pour une valeur $\overrightarrow{\beta_1} \not = \overrightarrow{\beta_0} $ :


\psfig {figure=perte_stab.ps,height=15cm,width=12cm}

Il apparait donc naturel de considérer les points fixes comme des fonctions implicites de $ \overrightarrow{\beta} $ : nous noterons Xf cette fonction Supposons qu'au point $\overrightarrow{\beta_0}$ de l'espace des paramètres ,la fonction F admette un point fixe. Notons $X_0 = X_f(\overrightarrow{\beta_0}) $ ce point fixe. L'étude de la stabilité peut donc maintenant se faire en considérant d'une part une perturbation du paramètre $ \overrightarrow{\beta} $ : $\overrightarrow{\beta} = \overrightarrow{\beta_0} + \delta \overrightarrow{\beta} $ , d'autre part une perturbation du point fixe : $ x = X_f + \delta x $. Développons F, cette fois-ci considérée comme une fonction de $ \overrightarrow{\beta} $ et de x, au voisinage de Xf et de $\overrightarrow{\beta_0}$en série de TAYLOR :


$ F(\overrightarrow{\beta},x) = F(\overrightarrow{\beta_0},X_0) + <\nabla F(\ove...
 ...0),(\delta \overrightarrow{\beta},\delta x)\gt
+o((\overrightarrow{\beta},x)^2)$

avec $ F(\overrightarrow{\beta_0},X_0) = 0$

que l'on peut écrire sous la forme:


$ F(\overrightarrow{\beta},x) = F(\overrightarrow{\beta_0},X_0) + \frac{\partial...
 ...rrow{\beta_0},X_0)}{\partial x} . \delta x +o((\overrightarrow{\beta},x)^2) (*)$

$ F(\overrightarrow{\beta_0},X_0) = 0$

Nous devons maintenant faire appel au théorème des fonctions implicites, qui nous dit que si au moins une des deux dérivées premières de F est non nulle, alors l'équation (*) admet une solution. Si les deux dérivées premières sont nulles, alors on prendra un développement de F à un ordre plus élevé, jusqu'à ce que l'on obtienne une solution.


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Olivier Thual
6/24/1998