next up previous contents
Next: Bifurcation fourche ou pitchwork Up: BIFURCATIONS EN DIMENSION 1 Previous: Démarche générale d'étude d'une

Bifurcation noeud-col ou saddle node

C'est la bifurcation associée à l'équation $ \dot x = \mu + \alpha x^2 $


LA RECHERCHE DES POINTS FIXES

Recherchons les points de vitesse nulle: $ \dot x = f_{\overrightarrow{\beta}}(x) = \mu + \alpha x^2 = 0 $

La rèsolution de l'équation $ \mu + \alpha x^2 = 0 $ ,nous conduit à considérer deux cas : $ \alpha \gt 0 $ \psfig {figure=alpha_pos.ps,height=11cm,width=11cm}


$ \alpha < 0 $ \psfig {figure=alpha_neg.ps,height=15cm,width=11cm}

ÉTUDE DE LA STABILITÉ DE CES POINTS

Soit une fonction de perturbation u(t), que nous allons rajouter aux points fixes : x(t) = xe + u(t).

Remarquons tout d'abord que $ \dot x = \dot u = \mu + \alpha x^2 = f_{\overrightarrow{\beta}}(x) $.Comme nous sommes au voisinage du point xe , nous pouvons calculer un développement de TAYLOR de f à l'ordre 1 :

$ \dot x = \dot u = f(x_e + u) = f(x_e) + f^{\prime}(x_e).u + o(u^2) $

posons $ \lambda = f^{\prime}(x_e) $

Or f(xe)=0 .On aboutit à une équation diiférentielle linéaire du premier ordre :

$ \dot u = \lambda u $

qui admet des solutions de la forme : $ u(t) = u(0) e^{\lambda t} $

la discussion devient alors très simple: si $ \underline{\lambda \gt 0} $ , alors lorsque t devient très grand, u tend vers l`infini : le point xe est instable

sinon ($ \underline{\lambda < 0} $) , le point est stable.

Comme $ \lambda = f^{\prime}(x_e) $ , nous en déduisons que la stabilité de point fixe xe est fonction de la pente de f en xe.



REMARQUE TRÈS IMPORTANTE : la démarche précédente n'est valable que localement i.e. au voisinage des points fixes du système. Il ne faudrait en aucun cas généraliser les résultats obtenus de manière globale. Nous verrons cependant, dans la dernière partie, que cela ne représente pas un handicap : il faudra juste se ramener au voisinage des points de bifurcations.

DIAGRAMME DE BIFURCATION ET INTERPRÉTATION

Toutes l'information peut se résumer sur une seule figure, en dessinant:

-en pointillé la trajectoire du point instable

-en trait plein, celle du point stable.

\psfig {figure=bif_noeud.ps,height=13cm,width=12cm}

Au passage, on remarque que l'on retrouve toutes les trajectoires possibles décrites au début du paragraphe.




Prenons le graphique suivant, qui correspond au cas $ \alpha < 0 $ et essayons de voir tous les resultats que l'on peut en tirer .


\psfig {figure=bif_noeud2.ps,height=10cm,width=10cm}

Supposons que l'on possede un potentiomètre qui nous permette de faire varier le paramètre $ \mu $.Au départ, le système est placé sur une valeur de $ \mu $ négative. L'équation $ \dot x = \mu + \alpha x^2 $ admet alors deux points fixes : l'un est stable (attracteur) ,l'autre est instable . Faisant tendre $ \mu $ vers 0 sans l'atteindre, on constate que les deux points fixes se rapprochent. Pour $\mu=0$ , ils fusionnent en un seul point fixe dit semi-stable. Il y a donc eu perte du point attracteur, le système s'est déstabilisé. Augmentant encore $ \mu $ pour qu'il ne prenne que des valeurs strictement positives, il y purement et simplement disparition de tout point fixe.




next up previous contents
Next: Bifurcation fourche ou pitchwork Up: BIFURCATIONS EN DIMENSION 1 Previous: Démarche générale d'étude d'une
Olivier Thual
6/24/1998