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Bifurcation fourche ou pitchwork

Considérons maintenant l'équation $ \dot x = \mu x + \alpha x^3 $


LA RECHERCHE DES POINTS FIXES

Pour resoudre l'équation $ \mu x + \alpha x^3 = 0 $ écrivons l'équation sous la forme $ x( \mu + \alpha x^2) $.

Un premier point fixe apparaît de facon évidente : x = 0 valable pour toutes valeurs de $ \mu $ et de $\alpha $

Puis une discussion s'impose suivant les valeurs de paramètre $\alpha $.


ÉTUDE DE LA STABILITÉ DE CES POINTS et DIAGRAMME DE BIFURCATION



Réappliquant la méthode utilisée pour la premire bifurcation, nous allons représenter directement le diagramme de bifurcation .

\psfig {figure=bif_fourch.ps,height=12cm,width=14cm}




LA SYMÉTRIE ENTRANT EN JEU Nous allons dans cette partie aborder la notion de symétrie dans les bifurcations fourches. Pour plus de détails sur la symétrie dans les bifurcations ,consultez le paragraphe 3.1

Dans un système qui va se déstabiliser par une bifurcation fourche, existe une symétrie ponctuelle de centre 0 des solutions : si x(t) est une solution du système, alors -x(t) en est une aussi. Cette symétrie apparait de facon évidente sur le diagramme de bifurcation :

\psfig {figure=diag_fourch.ps,height=10cm,width=12cm}


INTERPRÉTATION Nous allons la donner dans le cas où $ \alpha < 0 $.

Nous partons donc d'un système où le parmètre $ \mu $ est nègatif :le système possède alors un point fixe stable (un attracteur ponctuel) puis, nous faisons augmenter progressivement $ \mu $ . Lorsque $ \mu $ atteind la valeur 0, le système se déstabilise :le point fixe perd sa stabilité, sa nature topologique change: il y a bifurcation. Augmentant encore le paramètre $ \mu $, c'est-à-dire qu'il devient positif, on voit apparaitre alors deux points fixes stables.Il y a eu en quelque sorte dédoublement du point fixe. Lorsque l'on observe cela sous l'angle d'un cycle limite, il y a alors dédoublement de la période du cycle.


EXMPLE DE SYSTÈME PRÉSENTANT UNE BIFURCATION FOURCHE



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Olivier Thual
6/24/1998