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Bifurcation de Hopf

Ce coup-ci, nous allons nous placer dans le plan complexe. Soit donc une variable Z complexe. L'équation qui nous intéresse est la suivante:

$ \dot Z = (\lambda + i \omega) Z - \alpha \vert Z\vert^2 Z \hspace{1 cm}(1)$

$\alpha $ est un nombre complexe : $\alpha = \alpha_r + i \alpha_i$

Pour traiter cette équation, nous allons écrire la variable complexe sous la forme:

$ Z = \rho(t) e^{i \theta(t)} $

L'équation (1) s'écrit alors sous forme d'un système :

$
\left\{
\begin{array}
{rl}
\dot \rho = \lambda \rho + \alpha_r \rho^3 \hspace{...
 ...dot \theta = \omega + \alpha_i \rho^2 \hspace{1 cm}(1.2) \\ \end{array}\right.
$

L'équation (1.1) n'est autre qu'une bifurcation fourche étudiée précédemment

DIAGRAMME DE BIFURCATION

\psfig {figure=diag_hopf.ps,height=10cm,width=11cm}

INTERPRÉTATION

Le système possède au départ un point fixe attracteur (cas $ \lambda <0 $), qui correspond ici, à un point puit: les trajectoires spiralent exponentiellement vite vers l'origine. Puis lorsque $\lambda = 0 $ , ce point fixe perd sa stabilité. Augmentant encore $ \lambda$ (cas >0) , se forme alors un cycle limite stable, c'est-à-dire un attracteur périodique.

\psfig {figure=hopf_sous.ps,height=10cm,width=11cm}

\psfig {figure=bif_hopf_graph.ps,height=14cm,width=7cm}





Olivier Thual
6/24/1998