next up previous contents
Next: La symétrie entrant en Up: GÉNÉRALISATION A UNE DIMENSION Previous: GÉNÉRALISATION A UNE DIMENSION

Démarche d'étude


soit X=(X1,X2,X3) tel que :

$ \dot X = F_{\overrightarrow{\beta}}(X) $

La démarche de résolution est strictement la même que celle présentée dans le paragraphe 2.

Commencons donc par rechercher les points fixes de F : appelons $\cal F $ l'ensemble de ces points. Pout tout $X_e \in \cal F$, on a F(Xe) = 0.

Nous étudions alors la stabilité de Xe en introduisant une fonction vectorielle de perturbation U=(U1,U2,U3): on écrit au voisinage de Xe :

X = Xe + U

puis, utilisant un développement de TAYLOR de F, on obtient :

$ \dot U = \dot X = F(X_e + U) = F(X_e) + A . U + o(U^2)$
où A est la matrice jacobienne de F i.e.

$(A_{i,j}) = 
\left(
\begin{array}
{c}
\frac{ \partial F_i}{\partial x_j}\end{array}\right)_{i,j}
$

Nous répétons ici, une remarque faite lors de la présentation de la bifurcation noeud-col, et qu'il faudra toujours garder présente à l'esprit.

REMARQUE TRÈS IMPORTANTE : la démarche précédente n'est valable que localement i.e. au voisinage des points fixes du système. Il ne faudrait en aucun cas généraliser les résultats obtenus de manière globale. Nous verrons cependant, dans la dernière partie, que cela ne représente pas un handicap : il faudra juste se ramener au voisinage des points de bifurcations.

Nous supposerons dans un premier temps A diagonalisable : son polynôme caractéristique associé possède alors trois racines non nulles, dont une est forcément réelle, et les deux autres sont soit réelles, soit complexes conjuguées.

Une représentation très pratique de ces valeurs propres se fait dans le plan complexe:

\psfig {figure=dans_C.ps,height=10cm,width=12cm}


Pour tout $ k \in \{1,2\}$ , les projections de chaque composante de U vérifient l'équation :

$ \dot U_k = \lambda_k . U_k $ , qui admet pour solution des fonctions du type

$U_k(t) = e^{\lambda_k.t} U_k(0) $ avec $ \lambda_k = \rho_k + i \omega_k $ complexe


Comme $ \vert e^{\lambda_k t} \vert = \vert e^{\rho_k t} \vert $ , on a alors les deux cas suivant:

si $\rho_k < 0 $, on a la stabilité du point fixe dans la direction du vecteur propre associé à $ \lambda_k $

si $\rho_k \gt 0 $, le point fixe est instable dans la direction du vecteur propre associé à $ \lambda_k $.

Nous voyond donc que le cas où A est diagonalisable ne pose aucun problème, et qu'il se ramène pour chaque direction propre (vecteur propre) aux cas du paragraphe 2. Reprenons chacunes des bifurcations rencontrées dans le paragraphe 2 et étudions les en dimension 2 sur des exemples concrets:


next up previous contents
Next: La symétrie entrant en Up: GÉNÉRALISATION A UNE DIMENSION Previous: GÉNÉRALISATION A UNE DIMENSION
Olivier Thual
6/24/1998