Etude théorique


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Nous nous intéressons à la propagation d'une perturbation à la surface libre d'une couche de fluide d'épaisseur d, d'amplitude H et localisée sur une largeur L.Montrons que cette onde solitaire peut se déplacer sans se déformer dans la limite ou H et d restent constants.

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I/ Mécanisme de l'onde solitaire

Les équations qui permettent de décrire le comportement de l'onde solitaire dépendent du moment que l'on choisit d'étudier.

Nous ne nous intéressons ni à sa formation, ni à son déferlement mais à son déplacement sur le plateau océanique.

On considère que l'on se trouve dans le cas d'ondes linéaires à la surface d'un fluide parfait, on ne s'intéresse donc pas à l'atténuation de la vague qui est due à la viscosité. Les mécanismes contribuants à un retour à l'équilibre de la surface libre sont la dispersion qui tend à éclater le paquet d'onde, et les effets de non-linéarité qui poussent l'onde à déferler. Pour qu'une onde puisse se propager sans se modifier, il faut donc que ces deux mécanismes se compensent.

Pour une onde ayant le nombre d'onde , on montre que sa célérité peut s'exprimer par :

Cependant, si l'on néglige la capilarité et que l'on suppose que kd reste modéré, on peut alors développer th(kd), en s'arrêtant au second ordre on obtient :

        

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1/ La dispersion

Or la perturbation peut être considérée comme la supperposition d'ondes sinusoïdales de fréquences voisines. Donc d'après l'équation précédente, les composantes de la perturbation dont le vecteur d'onde sont les plus grands se propagent plus lentement.

Et si l'onde s'étend sur une longueur L, le spectre du vecteur d'onde s'étend entre k=0 et k=1/L. D'où une différence de vitesse dc entre les deux extrêmes :

C'est cette différence de vitesse des composantes de la vague qui tend à l'applanir.

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2/ Le raidissement du front

Le second mécanisme qui tend à déformer la vague est le raidissement du front de l'onde dû à la non-linéarité. Comme la vitesse de l'onde croît avec la profondeur d, le sommet de la vague se déplace plus rapidement que la base, d'autant plus que la hauteur de la vague est importante vis-à-vis de la profondeur, ce qui la fait déferler.

La différence de vitesse d'c exprimée au premier ordre est de :

            

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3/ compensation

Pour que l'onde conserve sa forme, il faut que les effets de dispersion et de raidissement du front se compensent en tous points du profil. On doit donc avoir :

Il faut aussi que l'onde ait un profil bien précis que l'on peut déterminer en résolvant l'équation de Kerteweg-de-Vries :

On obtient une solution de la forme :

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II/ Aspect énergétique

1/ Energie transportée

L'énergie potentielle de la vague s'exprime par :

Et l'énergie cinétique de la vague est :

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2/ Exemple numérique

En prenant l'exemple d'une vague de 10 mètres de haut pour un fond de 30 mètres, on trouve que l'énergie transportée par la vague est de 8*10^7 Joules.

Ce qui équivaut à l'énergie cinétique d'un camion de 200 tonnes lancé à 100 km/h

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