2. LA PREDICTION DES MAREES.

2.1. LA THEORIE DE LAPLACE. FORMULATION DE POINCARE.

                 Mise en équation.

Le problème des marées est donc celui de la recherche du mouvement d'un fluide se déplaçant sur une sphère tournante et soumis à l'action de forces perturbatrices périodiques sinusoïdales, au frottement, à des conditions aux limites compliquées et à l'attraction du globe terrestre.

Lors de l'énoncé de sa théorie, Laplace formula les hypothèses de calcul suivantes :
                - la courbure de la Terre est négligée : les calculs seront effectués sur une carte des océans plane,
                - la profondeur des océans h est considérée comme faible.

Le but de cette partie est de rechercher la fonction x(x, y, t) représentant la surélévation du niveau de la mer par rapport au niveau moyen et les composantes horizontales u(x, y, t) et v(x, y, t) du courant de marée.
(On prendra l'axe Ox dirigé vers l'est, l'axe Oy dirigé vers le Nord et dans le plan local tangent au globe terrestre).

Les trois fonctions ci-dessus étant sinusoïdales, on cherchera classiquement des solutions sous forme complexe :
 

avec 

L'équation de la dynamique s'écrit :

où f est le coefficient de frottementlinéaire par unité de masse.

En projection sur Ox et Oy, il vient :

avec (répartition hydrostatique de la pression avec p=0 en z=0).
l est la latitude.

L'équation de continuité donne :

en intégrant sur la profondeur, il vient :

Soit :

Conditions aux limites :
                - aux côtes, le vecteur vitesse normal s'annule
                - à la frontière séparant deux océans, le vecteur vitesse prend une valeur connue.

Dans ces conditions, les équations générales s'écrivent :

Si le frottement est négligeable, par exemple dans les océans où les vitesses sont faibles, mais pas dans les mers littorales, l'equation différentielle régissant la surélévation du niveau de la mer s'écrit :

La condition aux limites dans le cas d'un océan isolé s'écrit :

où n est la normale au contour qui délimite le bassin et C est sa tangente.
 
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