2. LA PREDICTION DES MAREES.

2.2. CAS PARTICULIER D'UNE ONDE DE MAREE SE PROPAGEANT DANS UN CANAL INFINI DE LARGEUR 2b ET DE PROFONDEUR h.
ONDES DE KELVIN.

 
Cette partie vise à étudier le cas particulier d'une onde de marée se propageant dans un canal comme suit :

En plaçant l'axe Ox au milieu du canal et d'après ce qui a été écrit précédement, la condition aux limites de paroi est :
en 
On cherche alors à quelle condition l'onde est de la forme suivante :

L'équation différentielle devient alors :

Pour satisfaire aux conditions aux limites, la surélévation du niveau de la mer s'écrit alors :
 On peut en déduire les composantes du vecteur vitesse :

On remarque que l'amplitude varie de manière exponentielle d'un bord à l'autre du canal.
Les lignes d'égale amplitude sont parallèles aux bords du canal et les lignes cotidales (x=constante) sont normales à l'axe du canal.

Comme dans la réalité, les ondes de marées se réfléchissent et se réfractent sur les côtes, Kelvin a eu l'idée d'étudier la superposition de deux ondes ainsi calculées se déplaçant en sens inverse dans le canal.
La surélévation résultante s'écrit alors :

  où a caractérise le rapport des amplitudes des deux ondes.
Ainsi, si le canal est assez large, sur chacun de ses bords, une seule onde se manifeste puisque l'amplitude de l'autre y est trés faible : sur chaque bord, l'onde se propage en sens inverse.

Calculons l'amplitude de la marée, c'est à dire, le module de la surélévation résultant de la superposition des deux ondes :

En réécrivant l'expression de x :

On aperçoit plus facilement que l'amplitude de la marée est proportionnelle au module de :
Soit à :
Cette expression nous montre qu'il existe des points à marnage nul (ie que l'amplitude est nulle) : c'est le cas lorsque
et 

En introduisant la longueur d'onde : , on voit que les points à marnage nul sont situés sur la droite  et ont pour abscisses : ; ils sont distants de  entre eux.

Aux points A où la marée est nulle, la mer est pleine (ou basse) à chaque instant; toutes les lignes cotidales passent par ces points autour desquels elles paraissent tourner : ce sont les points amphidromiques.
En A, le vecteur vitesse sera maximal.

On notera B les points où le courant est nul (et où l'amplitude de la marée sera maximale).
Ces points seront tels que :  (annulation du module de u).
Le module de la surélévation vaudra alors : .

La figure d'onde ainsi obtenue est appelée onde de Kelvin :

FIGURE 16 :

Remarque : si le canal n'est pas trés large, il ne peut contenir qu'une partie de l'amphidromie, en particulier, si, le point amphidromique est situé en dehors du canal : il est dit virtuel. (C'est ce qu'il se passe dans la Manche).

FIGURE 17 : Point amphidromique situé dans le canal :

FIGURE 18 : Point amphidromique virtuel :
 
 A l'échelle du globe, on obtient ainsi un réseau de points amphidromiques :

FIGURE 19 :

                Exemple d'application.

Cette théorie permet de confirmer l'observation et les propos de Newton concernant les ondes de marée semi-diurnes que l'on observe sur nos côtes.

L'océan Atlantique est un canal où se propage une onde semi-diurne lumaire. L'onde dans la partie Sud est sensiblement progressive vers le Nord car la force de Coriolis y est assez faible, l'Equateur étant proche.
La partie Nord de l'Atlantique est fermée par le détroit de Féroé; l'onde s'y réfléchit, et, soumise à l'effet de la force de Coriolis, donne des points amphidromiques. La marée se dirige du Sud au Nord sur nos côtes et du Nord au Sud sur les côtes américaines.
Les points amphidromiques ne sont pas virtuels.
 

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