Annexe













 

 mise en équations
  

 méthode de résolution
  

 

 

 
 
   L'hydrodynamique d'un estuaire

    La propagation de la marée

     Mise en équation

         Le problème revient à calculer la propagation d'une onde marée dans un canal de section variable. Au premier ordre d'approximation le phénomène est supposé unidimensionnel, c'est-à-dire que la marée dans chaque section en travers de l'écoulement est définie par des valeurs moyennes telles que :

-la cote moyenne Z(x,t) de la surface libre sur la largeur b(x,t) de l'estuaire,

-le débit liquide Q(x,t) dans la section S(x,z,t) de l'écoulement, la coordonnée x était comptée le long de l'estuaire, l'axe des z vertical ascendant.

         L'équation de continuité s'écrit en négligeant les variations de S avec x par rapport à celles de Q avec t :

         L'axe des y étant orienté suivant la largeur de l'estuaire, désignons par :

-u(x,y,z,t) la composante longitunidale du vecteur vitesse à laquelle il est réduit (la vitesse verticale est supposée nulle),

-p(x,y,z,t) la pression,

- la masse volumique supposée constante dans la section,

-r(x,z,t) l'effort tranchant à la cote z, exercé par le liquide situé au-dessus de la cote z.

         Les équations dynamiques se réduisent à :

         Soit Z0 (x,y,t) la cote du fond, supposons r=0 à la surface libre, intégrons la dernière équation entre Z0 et Z et le long du périmètre muillé P(x,t) :

r0 est la contrainte de frottement de l'eau sur le fond.

Par définition :

                   

d'où, us étant la vitesse en surface et R le rayon hydraulique :

         Le calcul du dernier terme nécessite de connaître la répartition verticale de vitesse u(z). Or du fait de la présence d'eau de différente densité à l'aval et à l'amont, dont les mélanges n'obéissent pas à des lois simples, les répartitions verticales de vitesses présentent les caractéristiques suivantes :

-le flot s'établit d'abord par le fond, car il correspond à une remontée d'eau salée;

-le jusant est plus fort en surface qu'au fond, car il a évacué les eaux d'origine fluviale.

         De ce fait, la variation de r0 en fonction du temps n'est pas simple ; il est parfois possible que les gradients de masse volumique fassent que r0 ne s'annule pas pendant la période de la marée et donc que le frottement sur le fond soit couramment dirigé dans le même sens, c'est-à-dire soit parfois en opposition avec le vecteur vitesse moyenne. Ceci montre combien est mal adapté à ce cas la schématisation du frottement par une loi du type Strickler ou Chézy.

     Méthode de résolution

         Faute de bien connaître la répartition verticale de vitesse, celle-ci est supposée uniforme et l'hypothèse de Strickler

est adoptée,k étant le coéfficient de frottement. Dans ces conditions, l'équation dynamique devient, P étant le périmètre mouillé.

         Introduisons la largeur L en surface de façon à évaluer ; S dépend de x, directement et par Z(x,t) :

         Supposons négligeables les gradients de rho; on obtient :

Posons :



                           

         Compte tenu de l'équation de continuité, l'équation aboutit au système suivant, en supposant P=L :

avec

         Ceci montre qu'il existe des courbes, appelées caractéristiques amont et aval, parcourues avec les célérités C+ et C-, d'équations différentielles :

qui permettent de calculer Q et Z à l'instant t+dt, à partir de Q et Z à l'instant t et donc de proche en proche à partir d'une situation initiale connue. Cette méthode de résolution est appelée méthode des caractéristiques.