Tout problème de mécanique des fluides est régi par des équations qui sont malheureusement insolubles dans la plupart des cas. Lorsqu’on rajoute l’aspect sédimentaire, les mécanismes sont d’autant plus complexes. Il devient donc impératif d’avoir recours à l’expérience, que ce soit par l’utilisation de modèles numériques ou des modèles physiques. Il est possible alors de faire converger les différentes approches, mais les essais sur maquettes sont plus intéressants dans un premier temps, car ils permettent de trouver des solutions, d’acquérir des données ou de vérifier des calculs. La technique des modèles réduits est basée sur les règles de similitude, donc sur l’analyse dimensionnelle. Ces règles permettent d’une part de concevoir et d’exploiter le modèle, mais aussi de transposer les résultats obtenus à la réalité.
Nous rappellerons dans un premier temps les principes de base de la similitude, puis nous appliquerons les résultats au transport de sédiments par charriage.
Pour tout système, les résultats des mesures expérimentales sur le modèle ne sont transposables au prototype que si les données définissant les problèmes posés satisfont à un certain nombre de relations. Ce sont les conditions de similitude mécanique :
On distinguera les similitudes
Similitude géométrique :
Le rapport de toutes les dimensions du prototype et du modèle doit être constant :
est l’échelle de longueur.
Par la suite, on notera avec l’indice 1 ce qui se rapporte à la nature et avec l’indice 2 ce qui se rapporte au modèle.
Similitude cinématique :
Le rapport des accélérations doit être constant en tous les points correspondants des deux écoulements (nature et modèle) :
Similitude dynamique :
Le rapport des forces appliquées à des éléments homologues doit être constant quelles que soient les forces homologues considérées.
b) La similitude de Reynolds et celle de Froude
Par ailleurs, deux lois de similitudes sont très importantes, la similitude de Reynolds et celle de Froude :
Similitude de Froude :
Elle exprime le rapport des forces d’inertie aux forces
de pesanteur. On suppose alors que celles-ci sont prépondérantes.
Elle s’applique bien aux écoulements à surface libre. Elle
se traduit par 
, soit 
. Or 
et 
=1.
On a donc 
. La similitude de Froude se traduit donc par :
Remarque : ceci revient à écrire
nombre de Froude
(rapport des forces d’inertie aux forces de pesanteur)
Similitude de Reynolds :
Elle exprime le rapport des forces d’inertie aux
forces de viscosité. On suppose alors que celles-ci sont prépondérantes.
Elle s’applique bien aux écoulements en charge. Elle se traduit
par 
Finalement, la similitude de Reynolds s’exprime par
Remarque :
ceci revient à écrire 
où 
nombre
de Reynolds (rapport des forces d’inertie aux forces de viscosité).
Incompatibilité des similitudes de Froude et de Reynolds :
La similitude parfaite implique le respect des conditions
de similitude de Froude et de Reynolds : 
. La plupart du temps, on utilise le même fluide pour le modèle
que dans la réalité. Ceci implique 
,
c’est-à-dire un modèle de la même taille que le prototype
...On ne peut donc pas satisfaire simultanément les deux conditions
de similitude.
Pour la plupart des modèles d’écoulement à surface libre, et si on peut négliger les forces de viscosité, il est possible de ne respecter que la similitude de Froude. Il faut cependant veiller à ce que le prototype et le modèle soient dans le même régime d’écoulement, et à ce que les coefficients de rugosité relative soient les mêmes.
Remarque : si deux systèmes sont géométriquement et dynamiquement semblables, ils sont aussi cinématiquement semblables.
Il est parfois nécessaire d’adopter une échelle différente pour les dimensions horizontales et verticales (pour des problèmes de précision par rapport à la taille du modèle).
Un modèle est dit distordu si 
sont différentes. On note alors 
la distorsion et 
.
La loi de similitude de Froude s’écrit alors 
.
Si le tirant d’eau peut être assimilé au rayon hydraulique,
alors 
est inchangé
dans le modèle distordu (cas des rivières larges).
Les échelles du modèle sont alors les suivantes :
Inconvénients de la distorsion :
Pour simuler l’évolution et les déformations des fonds, on utilise des modèles à fonds mobiles. Les règles de similitude sont dans ce cas difficiles à établir : en effet, compte tenu de la multiplicité des processus mis en jeu, il faut effectuer un choix sur ceux jugés prépondérants. De plus, les équations que nous avons à notre disposition reposent largement sur l’empirisme. La mise en place des règles de similitude requiert donc un minimum d’expérience.
Les mécanismes sédimentaires à représenter sont très variés puisqu’il faudrait respecter :
On ne dispose cependant que de deux degrés de liberté concernant les sédiments : leur diamètre et leur masse volumique. Il faut donc choisir les processus à représenter fidèlement, et ceux à laisser tomber. Rappelons que nous ne nous intéressons qu’au cas du charriage et que par conséquent il existe certains phénomènes que nous pouvons d’ores et déjà laisser tomber.
Soient 
le
nombre de Reynolds du grain.
Hypothèses : On suppose que les sédiments sont assez gros (diamètre >1mm) et que leur mouvement s’effectue dans le voisinage du fond, sur lit plat.
Nous avons à notre disposition les relations suivantes :
condition de Froude : 
(1)
condition de début de charriage : 
or 
,
donc 
(2)
condition d’équivalence du nombre de Reynolds autour du grain :
or si on a affaire au même fluide dans la réalité
que sur le modèle, 
(
On supposera par la suite que c’est toujours le cas).
or 
donc 
(3)
Nous possédons donc 3 équations, et les échelles à déterminer sont les suivantes :
En général, l’échelle des longueurs
est imposée. Il reste donc 4 échelles à déterminer.
Nous ne possédons que 3 équations ; il est donc possible
de choisir arbitrairement une autre échelle (par exemple 
).
Un exemple d’application se trouve en annexe .
Remarque : s'il y a turbulence complète autour du grain ( R*>100 sur le modèle), alors la relation (3 ) n’est plus à satisfaire. On peut donc imposer aussi ( ^ ) L=H, ce qui correspond à un modèle non distordu.
Echelle des débits solides :
La loi de débit solide peut se mettre sous la forme
. La similitude
implique de garder constant le rapport des débits sur modèle
et dans la nature:
donc 
Nous pouvons alors introduire la notion de temps sédimentologique,
qui correspond au temps nécessaire pour remplir un volume V de matériau
avec le débit en volume 
:
Lorsqu’on désire modéliser un site, on fixe tout d’abord l’échelle de longueur et celle de hauteur dans le cas d’une similitude distordue, car ces grandeurs sont imposées par la taille de l’emplacement dont on dispose pour mettre en place le modèle réduit. Ensuite, l’échelle des diamètres est déduite de la condition d’équivalence du nombre de Reynolds. Enfin l’échelle de masse volumique est donnée par la condition de début de charriage.
La relation donnant l’échelle de débit solide sert à obtenir le débit solide qu’il y aura dans la réalité.
L’échelle de temps sédimentologique est indispensable pour déterminer combien de temps il faudra laisser tourner le modèle et pour faire un lien entre la réalité et le modèle (par exemple une année réelle peut correspondre à une semaine sur le mosèle)
