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PASSAGE D'UNE ONDE SUR UN FOND GRADUELLEMENT VARIE

INTRODUCTION

EQUATION DE LA SURFACE LIBRE SANS REFLEXION

COEFFICIENT DE REFLEXION

Annexe : Introduction à la théorie WKB


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INTRODUCTION

Il existe des profils particuliers pour lesquelles il est possible de trouver des solutions analytiques. Pour des lentes variations du fond, on aboutit à des solutions approchées physiquement réalistes.

Pour une zone de transition beaucoup plus grande que la longueur d’onde locale de l’onde, on utilise la méthode WKB.


EQUATION DE LA SURFACE LIBRE SANS REFLEXION

A partir de l’équation de l’élévation de la surface libre et en posant

m ,petit paramètre caractérisant la pente du fond

on trouve

pour les différents ordre en m on a

Cette dernière relation nous permet de définir la surface libre le long de l'obstacle en absence de réflexion.

Il est possible de superposer des ondes se propageant dans des directions opposées (signe exponentielle opposé), ce qui permet de caractériser l'onde réfractée.


COEFFICIENT DE REFLEXION

Dans la suite, on ajoutera une onde incidente provenant de l'aval dépendant e de F0 tel que F02 proportionnelle à l'énergie de l'onde incidente avale.

Pour cela on introduit le débit Q=Uh

D'après les équations de continuité et de quantité de mouvement, on obtient

On remplace dans la seconde équation h par sa valeur.

De plus, dans la suite, on remplace les constantes E0 et F0 par E et F, fonctions inconnues solutions exactes de l'équation. En effet, E0 et F0 ne représentent qu'une approximation (O(m )).

En reprenant les équations de continuité et de quantité de mouvement, on peut aboutir aux dérivées de E et F :

On utilise la loi des petites perturbations :

Directement, en substituant, puis en intégrant on obtient les valeurs suivantes :

On choisit les limites inférieures telles que :

En(-¥ )=0, Fn(¥ )=0, n=1,2,3,…

Pour se placer dans le cas d'une onde qui se propage suivant les x croissants uniquement mais avec de la réflexion, on pose :

F0=0

On aura donc le coefficient de réflexion qui sera représenté par :

Pour obtenir des résultats physique, on suppose que le fond varie lentement à partir d’une constante.

On linéarise les termes dépendant de h et on obtient alors des une valeur de R simplifiée.

Nous avons établi la formule du coefficient de réflexion pour un fond graduellement varié.

Nous proposons des ordres de grandeurs de la réflexion pour des cas particuliers de fond la dans la partie suivante.


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