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ANNEXE : INTRODUCTION A LA THEORIE WKB

 

INTRODUCTION

APPROXIMATION EXPONENTIELLE


  INTRODUCTION

La théorie WKB est un outil puissant qui permet d'obtenir une estimation de la solution d'une équation différentiel linéaire dont le terme d'ordre de dérivation le plus élévé est affecté d'un petit paramètre.

Utilisable quelque soit l'ordre des EDO linéaires, pour les systèmes aux conditions limites, condition initiale et encore, pour les problèmes à singularités; enfin, pour le calcul d'intégrale de la solution de système différentiel. La limitation de cette méthode réside dans le fait que les équations doivent être linéaires.

L'approximation WKB, ordre après ordre en puissance de e , est la somme d'exponentielles d'intégrales élémentaires de fonctions algébriques ou spéciales (fonction d'Airy, par exemple).


  L' APPROXIMATION EXPONENTIELLE

Les phénomènes dissipatif et dispersif sont tous deux caractérisés par un comportement exponentiel où l'exposant est réel dans le premier cas et imaginaire dans le second. Pour déterminer des solutions dans les deux situations, on introduit des solutions de la forme :

S(x) est supposée non constante et variant lentement dans une région présentant une discontinuité.

Si S(x) est réelle, il existe une couche limite d'épaisseur m

Si S(x) est imaginaire, il existe une région où se propagent des ondes de longueurs d'ondes de l'ordre de m (oscillations rapides).

Si S(x) est constante, le comportement de y(x) est défini comme la variation lente de l'amplitude A(x).

 

En réalité, les fonctions A et S dépendent de m . On écrit A et S comme des séries de puissances de m . Ainsi, la forme de la solution y est :


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