I. Introduction


    En 1963, Lorenz publiait ses premiers travaux sur le calcul d'instabilités et de systèmes chaotiques. Il étudia tout
particulièrement un système 3D dérivé des équations de Navier et Stockes et qui porte aujourd'hui son nom : le système de
Lorenz. A l'époque, où les calculateurs n'en étaient qu'à leurs balbutiements, il n'avait pu simuler que seulement 500 itérations.
Ainsi, seules quelques boucles de trajectoire n'avaient pu être décrites. Aujourd'hui, la puissance des calculateurs est telle que
n'importe quel ordinateur personnel est capable de calculer des milliers d'itérations en quelques secondes.
C'est pourquoi, cette étude nous permettra, après quelques rappels théoriques, de comparer l'analyse par la théorie des
systèmes dynamiques et la simulation numérique.
 
 

II. Le problème physique


Comme nous le précisions en introduction, le système de Lorenz est un système simplifié des équations de Navier et Stockes.
Il traduit le phénomène physique de la convection de Rayleigh Benard qui est, sans doute, l'instabilité hydrodynamique la mieux connue et la mieux référencée.

Nous nous attacherons directement au système a proprement dit sans détailler les simplifications et calculs préalables.
Néanmoins, la base de ce système est les équations de Navier et Stockes écrites pour un fluide incompressible, dotée de l'approximation de Boussinesq (Cf. Be Instabilité de Rayleigh-Bénard)
Nous obtenons alors le système de Lorenz suivant :

(S) 

La stabilité de ce système dépend de la valeurs des paramètres (s,r,b).
 
 

III. Analyse par la théorie des systèmes dynamiques

Le système de Lorenz à résoudre est le suivant :

(S)            où 

1) Equilibre

On pose le vecteur  le système (S) devient alors 

On a alors l’équilibre pour   soit le système 
Qui a pour solution     pour   on obtient 
 

Tableau récapitulatif


 

2) La stabilité

    On utilise la théorie des petites déformations autour du point d’équilibre ce qui permet de linéariser le problème lorsque ce dernier n’est pas linéaire.
Soit U la petite déformation, on obtient la relation suivante :

Soit, après simplification : 
 

  • Pour 

  • On obtient 

    Calcul des valeurs propres :

    Une valeur propre est  l1= b >0
    Par ailleurs, on cherche les racines du polynomes du second degré. Le discriminant est positif, donc les deux dernières valeurs propres l2;3 sont réelles.
    On s’intéresse à leur somme S et produit P: 
    Leur somme est toujours négative et le signe du produit dépend de la valeur de r.

        Allure des valeurs propres l1;2;3 en fonction de r

    Pour que la solution soit stable, il faut que les parties réelles de toutes les valeurs propres soient négatives. Ici, c’est le cas pour r<1. Pour r>1, le système sera instable en  .

        Portrait de phase au voisinage de  .

    On effectue tout d’abord un changement de repère pour passer dans la base des vecteurs propres associés aux valeurs propres trouvées précédemment. Soit (f1,f2,f3) cette base.
    On décompose la perturbation U dans cette base, on trouve alors :

    Dans cette base, la relation trouvée précédemment devient alors :
      avec   une matrice diagonale dont les éléments sont les valeurs propres calculées.

    Le système est alors simple à résoudre, on aura :
    ce qui se résous par :
    Dans les plans de phase, on aura les relations suivantes : 
    On obtient donc des hyperboles.
     
     

  • Stabilité de 

  • L’étude de cette stabilité est très difficile à mettre en œuvre aussi ne retiendrons-nous que les résultats obtenus de façon expérimentale grâce à la simulation numérique.

    Résultat obtenu pour sigma=10 et b=8/3

     

    IV. La simulation numérique

    1) Le programme


        Pour cette partie, un programme FORTRAN a été écrit, il résous numériquement le système de Lorenz.
    La discrétisation temporelle du systéme d'équations differentielles de Lorenz a été réalisée par differentes methodes: tout d'abord, la méthode classique dite d'Euler puis deux methodes plus élaborées: la méthode de Runge-Kutta à l'ordre 2 et à l'ordre 4.
    Le programme permet de calculer la trajectoire d'une particule régit par le système de Lorenz en fonction du paramétrage  (s,r,b) et des conditions initiales. Il permet également de tracer le diagramme de bifurcation représentant les coordonnées de la particule en fonction du paramétre r.
    Le programme s'appelle Lorenz.exe ( lorentz.for ), il fait appel a un fichier texte donnee.txt regroupant les données nécessaires à son execution.
    Il écrit également les resultats dans le fichier diagra.txt pour le diagramme de bifurcation, dans le fichier result.txt  et coord.txt pour la trajectoire de la particule.
    Ces données ont ensuite été traitées avec MATLAB et Exel pour la visualisation.
     

    2) Simulations effectuées

    a) Trajectoire


        Nous avons effectué le calcul de differentes trajectoires pour des valeurs differentes des parametres (s,r,b) et des conditions initiales. En pratique, puisque la stabilité du système dépend essentiellement de r, nous avons fixé la valeur de s et de b à respectivement 10 et 2.6666667 qui sont des valeurs standards utilisées par Lorenz.

    D'après la théorie de Lorenz, il existe 3 états differents du système, pour r<1, pour 1<r<24.74 et pour r>24.74.

        Les simulations suivantes ont été réalisées pour un temps simulé de 100 secondes, un pas de temps de 0.00005, la méthode utilisée était celle de Runge-Kutta à l'ordre 4.
     

  • Pour r=0.5
  •   La condition initiale était (10,10,20)
    La condition initiale était (100,-100,150)
    Quelque soit le point initial, la particule converge vers le point d'équilibre (0,0,0) qui est l'unique point fixe du système.
     
  • Pour r=6
  • La condition initiale était (0,-5,0)

    La condition initiale était (0,-0.1,0)

    Il existe deux nouveaux points d'équilibre qui forment deux bassins attracteurs alors que le point fixe à l'origine est maintenant instable.
     

  • Pour r=30
  • Nous observons ici des boucles imbriquées entre elles, elles tournent autour d'un attracteur dit attracteur étrange.
     

    b) Diagramme de bifurcation


    Nous avons décidé d'étudier la stabilité du point 0 en fonction du parametre r.
    Pour cela, nous avons effectué 2600 simulations avec une valeur differente pour le paramètre r variant d'un pas de 0.01.
    Chaque simulation démarrait avec la meme condition initiale (0;0,1;0).
    Voici le diagramme que nous obtenu: il représente les dernières coordonnées x et y calculées en fonction du parametre r.

    On peut remarquer que pour:

  • r<1  la perturbation initiale suivant y est atténuée et la particule revient donc à l'origine qui est un point fixe.
  • 1<r<14 On observe pour r=1 une bifurcation fourche. Ensuite, le point origine n'est plus un point stable, la particule est alors attiré vers le nouveau point fixe  X+
  • 14<r<24.74 On observe un bruque changement de comportement du système pour r=14, il n'est alors plus attiré par X+ mais par X-.
  • r>24.74 Le système devient alors chaotique, cette bifurcation s'appelle la bifurcation de Hopf. La particule tourne autour de l'attracteur étrange et les coordonnées calculées sont alors quelconques.

  •  

    V. Conclusion

        Ce bureau d'étude nous a permis d'étudier et de comprendre une instabilité hydrodynamique usuelle de la physique. Il nous a également permis de mettre en oeuvre des méthodes numériques servant de comparaison et de complément à la théorie.
    On remarque alors qu'un programme simple permet de cerner un problème compliqué tel que le problème de Lorenz.

    Par ailleurs, quelques secondes suffisent aujourd'hui à calculer des trajectoires et à visualiser les résultats, si de tels moyens avaient été mis à la disposition de Lorenz peut-être lui aurait-i permis d'approfondir ses recherches sur le sujet?