I. INTRODUCTION

 

Ce stage a été proposé par la délégation du Pays Basque de la Société d’Equipement des Pyrénées Atlantiques (SEPA). Dans le cadre de l’aménagement local, la SEPA souhaite soumettre aux collectivités territoriales du Pays Basque une proposition d’études sur la construction d’un récif artificiel à vocation surf.

 

Un récif artificiel est une structure sous-marine implantée près des côtes dans le but de provoquer le déferlement de la houle arrivant du large et de maîtriser au maximum les caractéristiques du rouleau de déferlement afin qu’il réponde à des critères définis par ailleurs dans un cahier des charges (hauteur et type de déferlement notamment) pour des conditions météorologiques typiques données.

 

La mise au point d’une méthodologie ainsi que la rédaction d’un document de synthèse présentant différents scénarios d’études possibles sur la réalisation d’un récif artificiel ont été déjà été réalisé lors de la première partie de ce stage [6].

La seconde partie du stage s’intéresse maintenant à l’analyse de l'influence d'une structure immergée sur les propriétés du déferlement de la houle. L'objectif du travail est d'analyser comment une telle structure va influencer les caractéristiques du déferlement de la houle (position du déferlement, hauteur de déferlement, nature du déferlement) qui sont par ailleurs des éléments du cahier des charges " surf " du projet (avec le " peel angle " et la longueur de course notamment).

La méthodologie de cette étude, qui s'inscrit dans la méthodologie du projet global, s'appuie sur des simulations numériques réalisées avec plusieurs modèles de houle dont l’un est développé dans l'équipe hydrodynamique côtière de l'IMFT. On adopte dans ce code une modélisation " cross-shore " dans laquelle on considère la propagation de la houle suivant une direction (généralement perpendiculaire à la plage, mais on peut envisager d'autres choix en fonction des particularités du site) et pour laquelle on utilisera la bathymétrie réelle du site retenu.

 

La première partie de ce rapport présente différents modèles de propagation de la houle en zone côtière puis décrit les outils numériques choisis pour réaliser nos simulations.

Par la suite, nous exposons et commentons les résultats obtenus par ces codes de calcul concernant le déferlement de la houle sur la plage de Biarritz.

La première partie de ces simulations numériques présente et compare les résultats de propagation de la houle pour différentes modélisations de houle ainsi que différents critères de déferlement. Le but est ici de jeter les bases d’une validation des modèles de houle que l’on sera amené à utiliser dans des phases plus avancées du projet. Cette étude est essentiellement menée sur des profils 1D, sans récif. Une étude 1D ne permet pas de considérer toute la complexité du problème à deux dimensions et ne peut pas, par exemple, servir à l’étude du " peel angle ". Cependant, elles sont simples à mettre en œuvre et suffisent à la détermination des caractéristiques du déferlement. Notons que lors d’études similaires sur la construction d’un récif artificiel, des chercheurs australiens ont réalisé des études préliminaires dans des canaux à houle 1D.

 

Apres avoir conduit l'étude sur la plage dépourvue de structure immergée, on réalisera les mêmes calculs avec la structure dont on fera varier les paramètres (longueur du profil, emplacement,…) afin d'en mesurer l'influence.

Cette étude permettra de délimiter la latitude dont on dispose en implantant une structure artificielle pour modifier les caractéristiques du déferlement. On s’intéressera en particulier à la possibilité de passer d'un déferlement glissant à un déferlement plongeant.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I Modélisation de la propagation de la houle en zone côtière

 

I 1 Les ondes de surface

 

Par le mot " houle ", on désigne les ondes de surface générées au large par le vent et se propageant à la surface de l’océan. La période d’oscillation de la houle est généralement comprise entre 1 et 30 secondes. Les vagues sont caractérisées par leur hauteur H , leur période T et leur longueur d’onde L. La hauteur de vague désigne la distance verticale entre le creux et la crête de l’onde tandis que la longueur d’onde représente la distance entre deux crêtes successives. La période, quant à elle, correspond à l’intervalle de temps pendant lequel la crête de l’onde se déplace d’une distance égale à une longueur d’onde.

 

Sur le schéma suivant, nous définissons les grandeurs relatives à la houle et que nous utiliserons tout au long de ce rapport.

 

 

 

 

Les vagues sont principalement des vecteurs d’énergie. Elles transportent très peu de matière. Les trajectoires des particules fluides sont d’ailleurs pratiquement elliptiques. On montre que l’énergie, par unité de surface, transportée par une vague est proportionnelle au carré de sa hauteur.

 

Classiquement, la zone côtière, est divisée en trois parties : la zone de " shoaling " (avant le déferlement), la zone de " surf " (zone de forte dissipation d’énergie après le déferlement) et la zone de " swash " (située au niveau de la plage et alternativement couverte ou découverte).

Nous allons nous intéresser ici plus particulièrement à l’étude de la propagation de la houle dans la zone de " shoaling ", c’est à dire jusqu’à son lieu de déferlement.

La zone de " shoaling ", correspond à une zone de propagation en eaux relativement peu profondes (on admet qu’une onde de surface se propage dans un milieu peu profond lorsque la profondeur du milieu considéré est inférieure à une demie longueur d’onde). Ainsi, et contrairement à ce qu’il se passe loin des côtes, l’influence des fonds marins (nature, forme du relief) sur la propagation de l’onde est ici déterminante.

 

L’étude de la propagation de la houle en eaux peu profondes fait apparaître différents phénomènes : la réfraction bathymétrique tout d’abord, mais aussi des phénomènes de réflexion et de diffraction essentiellement dus à la présence d’obstacles entravant la propagation rectiligne de la houle (île, jetée, plage…).

 

 

II 1 1 Réfraction bathymétrique et déferlement

 

Le phénomène de réfraction bathymétrique se produit lorsque la houle pénètre dans un milieu peu profond. Il est dû au fait que la célérité de la houle est une fonction croissante de la profondeur du domaine ( pour une houle linéaire), où g est l’intensité de la gravité terrestre, L la longueur d’onde de la houle, et d la profondeur d’eau locale.

Ce phénomène, analogue à la propagation des ondes dans un milieu d’indice variable, a deux conséquence principales, le shoaling puis le déferlement et l’orientation des lignes de crêtes suivant la bathymétrie.

 

Le shoaling correspond à l’augmentation de l’amplitude de la houle lorsque celle-ci se rapproche d’un rivage. Ce phénomène s’explique très bien par l’analyse l’équation de conservation de l’énergie transportée par la houle.

En effet, cette équation s’écrit, dans le cas le plus général : E représente l’énergie de la houle, c sa célérité et P un terme de production volumique.

 

Dans le cas très simplifié d’une évolution stationnaire, à une dimension d’espace (Ox) et en négligeant les apports d’énergie (parfaitement concevable près des côtes et avant le déferlement de la houle), l’équation précédente se réduit à , ce qui s’écrit encore en suivant la direction (Ox). Ainsi, la célérité c de l’onde diminuant avec la profondeur d, l’énergie locale E augmente et la hauteur de houle H aussi (puisque l’on démontre par ailleurs que ).

Lorsque la cambrure de la vague () devient importante (supérieure à 10%), la crête de la vague devient instable, bascule vers l’avant et déferle. De manière empirique, le déferlement se produit en général lorsque la hauteur de vague est sensiblement égale à la hauteur d’eau locale et nous verrons plus loin quels sont les critères de déferlement retenus dans les codes de calcul que nous utilisons.

 

La réfraction bathymétrique est également à l’origine d’une déformation des lignes de crête. En effet, étant donné que la célérité des ondes de surface diminue avec la profondeur du milieu, il s’ensuit que lorsque la direction de la houle est quelconque par rapport aux lignes d’égales profondeurs, les vitesses de propagation sont différentes le long d’une même crête. Il en résulte alors une déformation des lignes de crêtes qui tendent finalement à s’aligner selon les lignes iso-bathymétriques.

 

 

I 1 2 Diffraction

 

La diffraction apparaît lorsque le front d’onde incident rencontre un obstacle tel qu’une jetée ou bien encore une île. Dans ce cas, la houle ne suit plus les lois de propagation rectiligne et contourne l’obstacle de la même manière que le ferait un rayon de lumière. Les solutions des problèmes d’optique sont d’ailleurs très proches des phénomènes observés en hydraulique maritime.

 

 

I 1 3 Réflexion

 

Le phénomène de réflexion intervient lorsque la houle aborde une paroi (un mur, un obstacle immergé ou encore une plage) sans déferler. Dans ce cas, l’énergie transportée par la houle est alors fractionnée en de la dissipation (turbulence et frottement), en énergie transmise (à travers l’obstacle si celui-ci est perméable ou bien par contournement) et en énergie réfléchie (une onde réfléchie est générée et se superpose à la houle incidente). Les lois qui régissent la réflexion de la houle sont identiques à celles de l’optique ondulatoire (lois de Descartes).

 

 

I 2 Les différents modèles de houle

II 2 1 Les domaines de validité

 

Il existe différentes théories permettant de décrire la propagation de la houle à la surface de l’océan : le modèle linéaire, les modèles de Stokes à différents ordres ou encore le modèle de houle cnoïdale.

Bonnefille [4] (1992) propose un abaque permettant de définir les domaines d’utilisation des différents modèles de houle existants :

 

 

Ce graphe montre que les différents modèles de Stokes peuvent s’appliquer à tout ordre lorsque d /L > 0,04. La théorie de houle cnoïdale (ou elliptique) permet de décrire la propagation de la houle en deçà de cette limite.

 

D’autres auteurs ont choisi de définir, de manière équivalente, les domaines de validité des différents modèles en s’appuyant sur le nombre adimensionnel d’Ursell défini par : . Ce nombre compare la non linéarité (la cambrure ) et la profondeur relative du milieu.

Isobe, Nishimura et Horikawa [11] (1982) ont montré que les solutions obtenues par les différents modèles de Stokes ne sont valides que pour des valeurs du nombre d’Ursell inférieures à 25 et que le modèle de houle cnoïdale est valable pour des valeurs du nombre d’Ursell supérieures à 10.

 

I 2 2 Mise en équations

 

Le point de départ de tous les modèles de houle dont nous venons de parler est constitué par le système d’équations de Navier-Stokes écrit pour un fluide incompressible newtonien. Les problèmes se posent lors de la résolution de ces équations. Dans le cas de la houle, la difficulté principale résulte de la position inconnue de la surface libre et donc de la description des conditions aux limites.

 

L’écoulement étant supposé irrotationnel, les équations de Navier-Stokes. s’écrivent pour un fluide incompressible, non visqueux et à masse volumique constante :

 

conservation de la masse

conservation de la quantité de mouvement

 

représente la dérivée particulaire, donnée par la relation .

 

La condition d’irrotationnalité () permet, d’après le théorème de Poincaré, d’introduire un potentiel des vitesse F tel que . Les équations de Navier-Stokes s’écrivent alors :

et,

 

 

La dernière équation s’intègre alors pour donner l’équation de Bernoulli, la constante d’intégration étant absorbée dans la fonction F :

 

 

 

Intéressons nous maintenant à l’écriture des conditions aux limites.

 

De façon générale, la condition cinématique d’imperméabilité d’une surface délimitant un domaine donné impose que sa dérivée particulaire dans le champ d’écoulement donné soit nulle à savoir :

 

Dans le cas de notre étude, l’écoulement est compris entre le fond marin , supposé fixe (pour une échelle de temps caractéristique de la houle) et imperméable, et la surface libre également supposée imperméable.

 

 

Les conditions d’imperméabilité s’écrivent alors :

 

Pour le fond marin  :

Pour la surface libre  :

 

 

La condition dynamique à la surface se réduit à car nous avons choisi de négliger le cisaillement crée par le vent. En introduisant dans la fonction potentiel de vitesse F, l’équation de Bernoulli devient sur la surface libre : .

 

Il n’existe pas de solutions analytiques générales aux équations que nous venons d’écrire, et nous avons alors recours à des théories asymptotiques.

 

 

I 3 Théorie de la houle de Stokes

 

Stokes (cf. Stoker [15] (1992) ) a développé plusieurs modèles de houle correspondant en fait à différents degrés d’approximation d’une même formulation.

Cette formulation repose à la fois sur la linéarisation des conditions aux limites imposées à la surface libre en considérant que la cambrure () des vagues est un infiniment petit et sur l’hypothèse d’une houle progressive quasi-plane qui suppose que la variation du fond rapportée à la longueur d’onde de la houle est très petite.

 

L’idée principale de Stokes est alors de rechercher les fonctions F et h sous la forme de développements en puissances croissantes de la cambrure, selon la théorie des ondes infinitésimales :

 

 

La recherche des fonctions et s’effectue alors en tenant compte du fait que l’amplitude des oscillations de la surface libre est faible. Il est alors possible de développer la fonction F en série de Taylor Mac-Laurin pour  :

 

La théorie de Stokes à l’ordre n s’obtient en retenant tous les termes jusqu’à cet ordre dans la décomposition de F et de h. Les fonctions et se calculent alors par récurrence.

 

Le modèle linéaire correspond à la théorie de Stokes au 1er ordre.

Dans ce cas, on a :

 

Relation de dispersion :

Vitesse de groupe :

L’énergie :

 

Dans les codes présentés plus loin, nous serons également amenés à utiliser la théorie de Stokes au troisième ordre. Nous avons alors pour la relation de dispersion ainsi que les expressions des énergie cinétiques et potentielles :

 

Relation de dispersion :

 

avec et

 

Energie cinétique :

 

 

Energie potentielle :

 

, avec, .

 

Pour ce qui concerne la formule donnant la vitesse de phase, on pourra se reporter à Cialone & Kraus [5] (1987) appendice C.

 

 

I 4 Modèle de houle cnoïdale

 

Lors d’une étude sur le changement de forme d’ondes longues durant leur propagation, les deux mathématiciens hollandais, Korteweg et De Vries [12] (1895), ont développé un type de profil de surface d’ondes longues qui peut être spécifié par la fonction elliptique de Jacobi, cn. Utilisant l’analogie avec les ondes décrites par les fonctions sinusoïdales, ils ont inventé le terme " cnoïdal " pour ce type d’ondes. Friedrichs [7] (1948) a introduit une méthode systématique pour dériver les théories de vagues en eaux peu profondes. Cette technique est à la base des dérivations successives à l’ordre n de la théorie cnoïdale.

Les développements mathématiques de la théorie de la houle cnoïdale sont fastidieux et nous choisissons de ne pas les donner ici. On pourra toutefois consulter utilement à ce sujet Hardy et Kraus [10] (1987).

 

On a, pour une houle cnoïdale au second ordre, les expressions suivantes :

 

Relation de dispersion :

 

 

Energie cinétique :

 

 

Energie potentielle :

 

 

 

I 5 Les critères de déferlement

 

De très nombreux critères empiriques de déferlement ont été proposés dans la littérature à partir de l’analyse de mesures effectuées en canal à houle ou en milieu naturel.

Le code de calcul ModHou, développé à l’IMFT au sein de l’équipe hydrodynamique côtière, propose le choix entre deux critères de déferlement : le critère de Weggel [18] (1972), proposé par Gaillard [18] (1988), et celui de Miche [13] (1944), conseillé par Bonnefille [4] (1992).

 

Critère de Weggel :

 

Critère de Miche :

 

où, Hb, db et Lb sont respectivement la hauteur de déferlement et la profondeur au point de déferlement et la longueur d’onde au point de déferlement et L0 représente la longueur d’onde de la houle incidente.

On a également, et .

 

Nous pouvons constater que, contrairement au critère de Miche, le critère de Weggel tient compte de la valeur de la pente du fond m.

 

Le code Artémis, développé par le Laboratoire National d’Hydraulique (LNH) de la Direction des Etudes et Recherches d’EDF utilise quant à lui une troisième formulation pour le déferlement. Ce critère se traduit par la détermination d’une hauteur critique de déferlement qui s’exprime sous la forme : kb et db représentent respectivement le nombre d’onde et la profondeur au point de déferlement et gs est un coefficient empirique fixé dans nos simulations à 0,77 [1]

 

 

 

I 6 Les différents types de déferlement

 

Un des enjeux principaux de la construction d’un récif artificiel sur la Côte Basque est l’amélioration de la dynamique de déferlement de la houle, à savoir que l’on souhaite que les caractéristiques de déferlement correspondent à un cahier des charges ‘surf’ que l’on aura pris soin de définir.

Nous avons recensé dans la littérature quatre types de vagues déferlantes que nous désignons ici, faute de traduction convenable, sous leur dénomination ango-saxonne : " spilling ", " plunging ", " collapsing " et " surging " et présentés sur le graphe suivant.

 

 

Une des exigences de ce cahier des charges est évidemment que la structure puisse permettre un déferlement propice à une pratique du surf dans d’excellentes conditions à savoir un déferlement de type plongeant (" plunging ") avec la formation d’un tube ou bien un déferlement de type glissant (" spilling ").

 

Dans la littérature, on trouve à caractériser le déferlement de la houle de manière empirique à l’aide d’un nombre sans dimensions : le nombre de Galvin, défini comme le rapport : Hb est la hauteur de déferlement, m la pente moyenne du fond (V : H), g l’intensité de la gravité et T, la période de la houle.

Ce nombre est relié aux quatre type de déferlement précités selon le schéma :

 

 

 

 

 

 

 

 

II Les outils numériques

 

Pour nos simulations, nous avons utilisés deux codes de calculs différents : le code Artemis, développé par le LNH [1], et ModHou [14], développé au sein du groupe hydrodynamique côtière de l’IMFT.

 

 

II 1 Le code ModHou

 

ModHou permet de calculer dans des cas à une dimension d’espace la hauteur stationnaire d’une houle se propageant dans un milieu relativement peu profond.

La bathymétrie est définie entièrement par l’équation et nous étudions la propagation d’une houle monochromatique, définie par son nombre d’onde et sa hauteur .

ModHou offre la possibilité d’utilisation de plusieurs modèles de houle parmi lesquels, le modèle linéaire, le modèle de Stokes au 3ème ordre et le modèle de houle cnoidale.

 

Le code résout à l’aide de la méthode itérative de Newton-Raphson les équations suivantes :

 

La relation de dispersion 

 

et l’équation de conservation de l’énergie :

 

Nous avons vu précédemment avec le diagramme de Bonnefille que les différents modèles de houle n’étaient utilisables que sous certaines conditions. Il existe donc des domaines d’études où un modèle de houle est valable dans une certaine partie uniquement et c’est une autre théorie qu’il faut utiliser pour l’autre partie. Il faut alors trouver un moyen pour " raccorder " les deux théories.

Dans notre cas, la théorie de Stokes au 3ème ordre, valable près de l’entrée du domaine, ne l’est plus proche de la zone de déferlement.

Nous avons donc divisé notre domaine d’étude en deux parties. Dans la première de ces parties, nous calculons la houle à l’aide du modèle de Stokes 3ème ordre puis, nous avons considéré un nouveau profil où l’on applique en conditions d’entrée les conditions de sortie de la partie précédente.

Cependant, si la solution de raccorder les hauteurs de houle semble évidente et est très aisée à mettre en œuvre, elle ne permet pas de conserver le flux d’énergie puisque la fonction n’est pas identique dans les deux modèles.

A l’inverse, la solution consistant à " raccorder " les flux d’énergie (bien plus difficile à mettre en œuvre mais finalement plus acceptable pour notre sens physique) implique nécessairement une discontinuité sur la hauteur de houle. Nous sommes en fait ici confronté au problème de dire que la houle est décrite par tel modèle avant une abscisse limite puis par un modèle sensiblement différent au delà ce cette abscisse et ce de manière très brutale.

 

Une solution acceptable serait de passer continûment d’une théorie à l’autre à l’aide d’une pondération bien calculée. La réalisation d’un tel programme est actuellement à l’étude dans le groupe d’hydrodynamique côtière de l’IMFT.

Nous avons donc choisi pour des raisons de simplicité de " raccorder " les hauteurs de houle. Bien sûr, au vu de ce que nous venons de dire, ce choix est tout à fait contestable mais, il semble toutefois que l’erreur commise n’excède pas quelques pour-cent.

 

 

 

II 2 Artémis

 

Le code Artémis (Agitation and Refraction with Telemac on a Mild Slope) résout l’équation de Berkhoff [3] (1976) par une méthode aux éléments finis. Cette équation modélise les phénomènes de réfraction et de diffraction d’une houle linéaire stationnaire se propageant dans un domaine 2D dont le fond varie lentement. Le fluide est supposé non visqueux et l’écoulement irrotationnel. Les hypothèses simplificatrices qui permettent d’aboutir à l’équation de Berkhoff sont celles correspondant à la théorie de houle linéaire, à savoir faible cambrure de la houle et faible pente au sol.

 

Artémis prend également compte des phénomènes tels que le frottement sur le fond ou encore le déferlement bathymétrique.

 

Les résultats principaux de l’équation de Berkhoff sont, en chaque nœud du maillage de résolution la hauteur et la phase de la houle.

Tout potentiel pouvant se décomposer en série de Fourier en temps, la recherche de celui-ci peut se faire sous la forme . Lorsque le fond est plat et horizontal, la solution obtenue après linéarisation est identique à la houle de Stokes au 1er ordre.

 

Lorsque les fonds varient lentement en espace, les équations relatives à la théorie linéaire de la houle aboutissent à l’équation où c et cg sont respectivement les vitesses de phase et de groupe définies par :

 

et

 

La prise en compte des phénomènes de dissipation d’énergie (déferlement et frottement sur le fond) se fait par l’ajout d’un terme supplémentaire dans l’équation de Berkhoff. L’équation modifiée devient alors :

 

m est le coefficient de dissipation.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

III Résultats et commentaires sur les simulations numériques

 

III 1 La bathymétrie

 

Dans le cadre de nos simulations numériques, nous avons choisi de travailler avec des données bathymétriques réelles correspondant aux fonds marins de la baie de Biarritz. Nous avons pour cela utilisé une cartographie à l’échelle 1/20000e , réalisée par l’IFREMER, et représentant différentes lignes de niveau depuis l’isobathe 50m jusqu’à l’isobathe 0m. La référence choisie pour le niveau 0m n’étant pas mentionnée, nous avons décidé, sans que cela nuise à la génaralité des simulations, qu’il correspondait au niveau atteint par la surface libre de l’océan à marée haute.

Le schéma suivant représente la bathymétrie de la baie de Biarritz, réalisée à l’aide du logiciel Matisse, développé au LNH.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Le code ModHou, qui résout les équations de propagation de la houle pour une géométrie à une dimension, permet de simuler des houles d’incidences non nulles puisqu’il tient compte du phénomène de réfraction de la houle

Cependant, nous avons constaté que dans la zone étudiée, les isobathes présentaient la particularité d’être quasiment parallèles. Or nous savons qu’en eaux peu profondes, les lignes de crêtes s’orientent selon la bathymétrie locale. Par souci de simplicité, nous avons donc choisi pour directions des profils 1D, les orthogonales aux isobathes ainsi qu’une houle incidente sans angle d’incidence initial.

Nous avons réalisés trois coupes différentes mais compte tenu du caractère très général des informations recherchées, des simulations numériques sur un seul profil bathymétrique se sont révélées suffisantes. Ce profil (coupe 1) matérialise la frontière inférieure de la baie de Biarritz.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Nous avons choisi pour délimiter l’entrée du profil un point situé sur l’isobathe 20m, puisque nous disposons de données de houle (période, hauteur) provenant d’un houlographe situé sur cette ’isobathe. Ce point se situe à environ deux kilomètres de la côte.

 

 

III 2 Les conditions de houle

 

Nous avons travaillé dans nos simulations avec trois conditions à la limite de houle (qui par ailleurs des éléments de ce que nous appelons par ailleurs la météo de projet) correspondant à des conditions typiques de houle " surfable " que l’on peut trouver sur la Côte Atlantique à savoir une houle faible (hauteur 1m, période 7s), une houle plus importante (hauteur 1,2m, période 10s) et une houle aux caractéristiques intéressantes (hauteur 2m, période 10s).

 

 

III 3 Etude du domaine sans récif.

 

Le but de cette étude est ici double. Il s’agit à la fois de tester et de comparer la validité et la pertinence des différentes théories asymptotiques de houle, mais aussi de recueillir des premières informations sur le déferlement, à savoir son lieu et son type.

 

III 3 1 L’amplitude de la houle

 

Comme nous l’avons déjà précisé, nous avons utilisés plusieurs modèles pour simuler la propagation et le déferlement de la houle.

Afin de choisir le modèle de houle adapté à notre étude, nous avons tracé dans le diagramme de Bonnefille [4] (1992) le lieu des points de fonctionnement correspondant à notre étude. Il nous faut pour cela connaître en plus de la bathymétrie locale, la période de la houle, sa hauteur et sa longueur d’onde.

La question s’est alors posée de savoir avec quel modèle il convenait de calculer la longueur d’onde ainsi que la hauteur de houle puisque l’on ne pouvait savoir à priori quel était le modèle le mieux adapté à notre étude.

Nous avons donc conçu un programme en Fortran qui calcule en chaque point la longueur d’onde de la houle connaissant sa période temporelle (celle ci est supposée invariable lors de la propagation de la houle ) et la bathymétrie locale. Ce programme résout les équations implicites de dispersion de la houle des différentes théories de houle à l’aide de suites mathématiques récurrentes.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pour des distances supérieures à 400 mètres de la plage, l’erreur relative entre les deux longueurs d’onde calculées pour les deux modèles est inférieure à 1%. Nous pouvons donc choisir indifféremment l’une ou l’autre des deux théories pour utiliser le diagramme de Bonnefille.

 

Les lieux tracés sur les graphes suivants l’ont donc été avec des caractéristiques de houle calculées avec la théorie linéaire.

 

 

Au vu de ces deux graphes, nous constatons qu’il semble judicieux d’utiliser un modèle de Stokes d’ordre supérieur ou égal à 2 couplé avec un modèle de houle elliptique ou cnoïdale.

Le code ModHou, possédant des modules de calcul de houle relatifs à la théorie de Stockes au 3ème ordre et à la théorie de houle cnoïdale, nous avons pu adopter un modèle couplant les deux théories.

Notre modèle, certes très grossier, consiste à commencer le calcul à l’aide du modèle de Stokes jusqu’à une certaine abscisse puis à continuer le calcul avec le modèle de houle cnoïdale au delà de cette abscisse. Cette abscisse limite est calculée à l’aide du critère général d’Ursell qui stipule que la théorie de houle de Stokes n’est plus valable dès lors que .

 

Nous avons donc pour déterminer cette abscisse limite réalisé un programme permettant de calculer localement le nombre d’Ursell connaissant la bathymétrie, la longueur d’onde et la hauteur de la houle, calculée à priori avec le modèle de Stokes au 3ème ordre.

Nous présentons sur le graphe suivant l’évolution du nombre d’Ursell tracée pour une houle de période 7 secondes et de hauteur initiale 1m.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Nous présentons alors sur les graphes suivants les résultats obtenus pour différentes conditions de houle à la limite et différentes théories de houle à l’aide du code de calcul ModHou.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Nous constatons sur les différentes courbes que globalement, la hauteur de houle croît en se rapprochant de la côte, c’est à dire lorsque le fond marin s’élève : c’est le phénomène de " shoaling " du à la réfraction bathymétrique.

La hauteur de houle atteint alors un maximum puis décroît de manière très rapide. Cette forte décroissance est due à une importante perte d’énergie : c’est le déferlement, dont l’apparition provoque une dissipation d’énergie due à l’apparition d’un écoulement fortement turbulent.

Remarquons par ailleurs que nous aurions pu nous attendre à une différence plus grande entre les hauteurs de houle calculées par la théorie linéaire et celles calculées par le modèle de Stokes au 3ème ordre puisque nous avons vu plus haut dans le diagramme de Bonnefille, que le modèle de houle linéaire ne semblait pas adapté à notre étude. Ce n’est pas le cas et l’on peut penser que cela est dû à des critères trop " sévères " employés par Bonnefille pour délimiter les différents domaines de validité et qu’en réalité les différents modèles ne sont pas uniquement valables lorsque le point de fonctionnement de la houle à modéliser est strictement intérieur au domaine correspondant.

 

Dans un soucis de confirmation des résultats donnés par le modèle linéaire du code ModHou, nous avons voulu les comparer avec les solutions obtenues par le code Artémis qui résout lui aussi un modèle de houle linéaire.

Le maillage utilisé ici est un peu différent de celui utilisé par ModHou puisque Artémis travaille avec des maillages 2D non structurés qu’il génère automatiquement à partir d’un fichier de bathymétrie à l’aide du mailleur Matisse.

Sur le graphe suivant, on a représenté la hauteur de houle calculée avec Artémis, pour une houle incidente de période 7s et de hauteur 1m.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Nous pouvons remarquer tout d’abord que, contrairement aux résultats donnés par le code ModHou, la hauteur de houle oscille sensiblement mais que la courbe représentant sa valeur moyenne est similaire (à une translation de quelques centimètres près) à celle obtenue avec ModHou. Ces oscillations, déjà constatées par ailleurs dans des simulations numériques relatives à d’autres projets, pourraient être le fait d’un maillage trop grossier. En effet, afin d’assurer une convergence optimale des calculs, le maillage doit contenir au moins dix mailles par longueur d’onde de la houle, ce qui était impossible à mettre en œuvre ici compte tenu du nombre total de mailles qui aurait alors été nécessaire.

D’autre part, nous expliquons la différence constatée entre les deux courbes par le fait qu’Artémis tient compte des frottement sur le fond tandis que MoHou ne les modélise pas.

 

 

Influence du maillage

 

Nous avons voulu tester différentes longueur de maille pour les maillages employés avec le code ModHou. Les deux courbes sur le graphe suivant représentent la hauteur de houle, calculée par un modèle linéaire, pour une houle incidente de période 7s et de hauteur 1m et pour des maillages de longueur de maille 2m et 5m respectivement.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Nous ne constatons absolument aucune différence entre les deux courbes, ce qui indique que le code ModHou donne des résultats tout à fait acceptable pour des mailles de 5m de long.

 

 

II.3.2 Le déferlement

 

Le code ModHou permet aussi de déterminer le lieu du déferlement de la houle ainsi que sa hauteur de déferlement.

Les différentes simulations attestent que conformément à l’intuition, la hauteur de déferlement est d’autant plus élevée que la hauteur de houle incidente est importante.

Nous pouvons remarquer de plus que le lieu de déferlement est d’autant plus éloigné de la plage que la houle incidente est forte comme le résume le tableau suivant :

 

Houle incidente

Période=7s, H=1m

Période=10s, H=1,2m

Période=10s, H=2m

Hauteur de déferlement (m)

 

1,31

 

1,76

 

2,66

Abscisse du déferlement (m)

 

-120

 

-160

 

-245

 

Nous constatons également que la hauteur de déferlement prévue par le couplage des théories de houle cnoïdale et de Stokes au 3ème ordre est supérieure de 11 à 17 % selon les cas à celle calculée avec le modèle linéaire (le critère de déferlement utilisé est le même pour dans les deux cas). De plus, le déferlement de la houle est décalé de 20 à 35m vers le large, encore une fois selon les cas, par rapport au modèle linéaire.

 

En comparant les résultats donnés par les deux codes, nous remarquons que ceux ci prévoient tous deux un déferlement de la houle à 120 m de la plage mais des hauteurs de déferlement différentes (1,31 m pour ModHou contre 1,16 m seulement pour Artémis, soit une erreur relative supérieure à 10%). Cette différence s’explique par le fait que les deux logiciels n’utilisent pas le même critère de déferlement

 

 

 

Influence du critère de déferlement

 

En effet, compte tenu du fait que longueur d’onde et nombre d’onde sont reliés par la relation , le critère de déferlement de Miche s’écrit encore .

Or, en supposant que le produit est petit (les calculs précédents concernant les longueurs d’onde donnent pour ce produit des valeurs comprises entre 0,24 et 0,31 selon la météo de projet choisie), il est possible d’effectuer le développement limité et d’obtenir les critères de déferlement simplifiés suivants :

 

Critère de Miche :

 

Critère utilisé dans Artémis:

 

Et nous pouvons vérifier qu’effectivement, le rapport est sensiblement égal à 0,88 (valeurs comprises entre 0,82 et 0,86 selon le modèle utilisé et les caractéristiques de la houle incidente) lorsque le critère de déferlement choisi est celui de Miche (cas des simulations avec ModHou) et vaut 0,71 lorsque l’on utilise le critère de déferlement d’Artémis.

Les différences constatées sur la hauteur de déferlement entre Artémis et ModHou (toutes deux calculées avec un modèle de houle linéaire) proviennent donc de choix différents pour le critère de déferlement.

 

Remarquons également sur le graphe représentant l’amplitude de la houle pour une houle incidente de période 7s et de hauteur initiale 1m que les critères de déferlement de Miche et de Weggel donnent des résultats identiques. En fait, la différence essentielle entre ces deux critères réside dans le fait que l’un dépend de la pente tandis que l’autre n’en dépend pas. Dans notre cas, sans le récif, la pente est relativement faible ( 1,28 %) et donc la différence n’est pas marquée. Nous verrons plus loin un cas de déferlement sur une pente de 5% ; dans ce cas, la différence entre les critères de Miche et de Weggel est beaucoup plus accentuée.

 

 

 

Type de déferlement

 

Nous avons vu qu’il était possible de déterminer empiriquement le type de déferlement obtenu à l’aide du nombre adimensionnel de Galvin. Dans le cas du profil sans récif, les nombres de Galvin ont une valeur sensiblement égale à 0,2, ce qui correspond à un déferlement de type glissant. Bien que ce déferlement permette la pratique du surf, nous lui préférons un déferlement de type plongeant avec la formation d’un tube. C’est pourquoi, nous allons maintenant étudier les effets d’une structure immergée sur les propriétés du déferlement.

 

 

 

III 4 Etude d’un profil avec un récif.

 

Les nombres de Galvin, calculés lors des simulations précédentes, c’est à dire sans récif artificiel, ont des valeurs comprises entre 0,21 et 0,24 selon le modèle de houle utilisé ou les conditions de houle incidente.

L’implantation d’un récif artificiel a un double rôle : en modifiant la pente moyenne des fonds marins par sa présence, il influe donc directement sur le type de déferlement et il contribue également à augmenter la hauteur de déferlement.

Bien sûr, Hb peut être une fonction de la pente au fond m comme c’est le cas pour le critère de déferlement de Weggel. Il est alors possible de déduire une formulation du nombre de Galvin où celui-ci ne dépend que de la pente au fond et ainsi en inversant cette relation, de calculer la pente m nécessaire pour obtenir un nombre de Galvin fixé.

 

Walker [16], (1974) propose une relation plus simple que celle de Weggel [18], (1972) à savoir : .

 

Nous avons alors écrit un programme en Fortran permettant de calculer la pente à donner au relief sous-marin pour obtenir un nombre de Galvin imposé pour des conditions de houle incidentes fixées.

Nous avons calculé avec ce programme qu’une pente de 5% permettait d’assurer pour les différents types de houle incidente des conditions impliquant un déferlement de type plongeant à condition évidemment que le déferlement se produise sur le récif (et non en amont ou en aval, puisque dans ce cas, le nombre de Galvin serait alors calculé avec les pentes du relief initial).

 

 

 

III 4 1 Implantation d’un premier récif

 

Nous avons fixé que la partie supérieure de ce récif devait être située à une profondeur d’environ 2m sous la surface libre de l’océan lorsque celui-ci est à marée haute. Nous avons choisi d’autre part de l’implanter à une abscisse sensiblement égale à l’abscisse du déferlement observé sans récif.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ce récif est composé de deux parties : l’une, comprise entre les abscisses – 235 m et –220 m possède une pente de 5%, l’autre, comprise entre les abscisses –220 m et – 115 m est plate.

 

Les résultats de hauteur de houle calculés pour les différents modèles de houle et différentes conditions de houle incidente sont présentés sur les graphes suivants.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dans le cas d’une houle incidente de hauteur 2 m et de période 10 s, on constate que les caractéristiques du déferlement n’ont pas changées par rapport à la situation sans récif. On pouvait en effet s’attendre à ce résultat puisque le programme ModHou résout les équations de propagation du flux d’énergie et ne tient pas compte d’une éventuelle interaction avec ce qui existe à l’aval du point considéré. Or, dans notre cas, le critère de déferlement est satisfait avant que la houle n’atteigne le début du récif et ne le " voit " donc qu’après son déferlement. Ainsi donc, on devrait pouvoir constater un effet du récif en aval du lieu de déferlement lors de la décroissance énergétique. Ce n’est pas le cas, et il pourra être alors utile de s’interroger sur la pertinence des modèles utilisés dans ModHou pour décrire l’écoulement dans cette zone, appelée aussi zone de surf. Cette modélisation de la zone de surf, qui constitue un modèle très difficile, dépend des modèles de dissipation choisis

 

Dans le cas d’une houle incidente relativement faible de hauteur 1m et de période 7s, le déferlement se produit après le récif, mais l’on constate que les caractéristiques du déferlement restent inchangées par rapport au cas sans récif. Ce résultat est plus surprenant que le précédent compte tenu du fait que cette fois-ci, la houle " voit " le récif avant de déferler. Ainsi, on aurait pu s’attendre à ce que la rupture brutale de pente imposée par le récif accélère le phénomène d’augmentation de la hauteur de houle provoquant ainsi un déclenchement anticipé du déferlement. Il semble en fait que la longueur du récif correspondant à une pente de 5% ne soit pas suffisante pour pouvoir observer cela.

Remarquons enfin que sur la partie plate du récif (), la hauteur de houle reste constante, ce que l’on explique parfaitement par la conservation du flux d’énergie et la relation .

 

 

 

II.4.2 Implantation d’un second récif

 

Reprenant une remarque précédente, sur la longueur du récif nous avons voulu tester numériquement l’influence d’un second récif que nous avons choisi de telle manière à ce que sa partie correspondant à une pente de 5% soit plus importante afin de forcer le déferlement sur le récif.

Les graphes ci dessous représentent le profil du nouveau récif ainsi que les nouvelles hauteurs de houle calculée dans cette configuration.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dans le cas d’une houle incidente de hauteur 2m et de période 10s, le déferlement se produit sur le récif. Nous remarquons en conséquence le déplacement du lieu de déferlement de quelques dizaines de mètres vers le large et celui-ci se situe désormais entre 370 et 380 m de la plage, selon le modèle de houle utilisé. La hauteur de déferlement diminue quant à elle de quelques pour-cent mais reste suffisante pour que l’on obtienne un nombre de Galvin approximativement égal à celui que l’on s’était fixé pour déterminer la pente optimale du récif. Ce nombre est compris selon le modèle utilisé entre 0,052 et 0,059 le déferlement simulé est donc de type plongeant.

 

D’autre part, nous constatons encore une fois que pour une petite houle incidente (hauteur 1m, période 7s), le déferlement se produit en aval du récif et que les caractéristiques du déferlement sont alors inchangées et notamment le type de déferlement puisque celui-ci se produit en un lieu où la pente au fond est de 1,28 % comme dans le cas sans récif. Nous pouvons alors nous interroger ici sur la pertinence du critère de Galvin dans le cas où l’on est en présence de fortes variations de la pente du fond. En effet, le nombre adimensionnel de Galvin s’appuie directement sur la valeur de la pente du fond ; or, celle-ci variant brusquement, le type de déferlement prévu est radicalement différent selon que l’on déferle juste en amont de la rupture ou juste en aval. Une telle estimation ne peut évidemment pas être en accord avec notre sens physique (qui suppose privilégie un passage " plus continu " d’un type de déferlement à l’autre). De plus, il pourrait être judicieux d’opter pour un critère possédant une mémoire tenant ainsi compte des différentes pentes " vues " par la houle avant son déferlement. A ce propos, Walker [17] (1997) signale l’existence d’un second critère proposé par Battjes [2] (1976).

Nous avons aussi déjà pensé à la mise en œuvre dans le cadre du projet d’un code de calcul numérique évolué 3D permettant de calculer et de visualiser le rouleau de déferlement. Le nombre de Galvin servirait alors uniquement de critère à priori permettant de définir le récif et la validation du résultat s’effectuerait à l’aide du code 3D. La réalisation d’un tel code, à la fois longue et coûteuse semble s’avérer nécessaire compte tenu des conclusions précédentes et du fait que la caractérisation fine et précise du rouleau de déferlement constitue un des enjeux majeurs de la construction du récif.

 

De ces premiers essais sur l’implantation numérique de récifs artificiel, nous pouvons retenir deux grandes choses. Tout d’abord, étant donnée la grande influence des caractéristiques de la houle incidente (et donc de la météo de projet) sur le lieu de déferlement, il apparaît nécessaire de connaître parfaitement celle-ci. Des mesures effectuées sur le terrain pourront venir compléter les données déjà disponibles du houlographe.

Ensuite, nous avons vu l’influence de la longueur du récif sur les caractéristiques du déferlement. Walker [17] (1997) suggère que la longueur de la partie utile du récif doit être au minimum égal à une demie longueur d’onde, ce qui représente approximativement la distance parcourue par la houle avant qu’elle ne ressente les effets d’un changement brusque des fonds. C’est bien ce que nous constatons dans nos simulations puisque nous avons vu que l’influence du petit récif n’était pas intéressante.

 

Par ailleurs, nous pouvons constater désormais une différence sensible entre les critères de Miche et de Weggel. Cela vient du fait que le déferlement se produit sur une portion où la pente est non négligeable, à savoir 5%. Il conviendra donc de choisir pour les simulations numériques du projet un critère de déferlement tenant compte de la pente. Le critère de Weggel semble plus adapté à cela ceux précités.

 

 

Influence de la marée

 

Nous avons voulu terminer l’ensemble de ces simulations par l’étude des effets de la marée sur les caractéristiques du déferlement. Il ne s’agit pas ici de l’étude de l’influence du phénomène dans sa globalité puisque nous ne nous intéresserons simplement ici aux effets de la variation de hauteur d’eau dans le domaine. Ainsi, par exemple, nous n’allons pas étudier les effets, pourtant non négligeables des courants de marée. Afin de simuler la variation du plan d’eau, nous avons choisi d’additionner une fonction sinusoïdale du temps (de période égale à la période de marée) à l’altitude des points du fond contenus dans le fichier de bathymétrie.

Il s’agit dans cette étude de donner quelques réponses générales sur les effets de la marée et non de procéder à une étude détaillée qui devra par ailleurs être menée pendant la conduite du projet. Nous avons donc choisi d’étudier les effets d’une marée d’amplitude 1m.

 

Le graphe suivant présente les variations du lieu de déferlement sur un profil sans récif, mais soumis à la marée :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

On constate au vu de ce graphe que la variation de la hauteur du plan d’eau n’agit que sur le lieu de déferlement et non pas sur la hauteur de déferlement. Il faudra bien évidemment tenir compte de ce phénomène lors de la détermination des caractéristiques du récif.

Bibliographie

 

 

 

 

[1] Artemis, 1997, Note de Principe, Version 3.0, Rapport EDF HE-42/97/002.

 

[2] Battjes J., 1976, Surf Similarity, Proceedings of the Coastal Engineering Conference, Honolulu, HI.

 

[3] Berkhoff J.C.W., 1976, Mathamatical Models for Simple Harmonic Linear Water Waves, Wave Diffraction and Refraction, Delft Hydraulics Laboratory, Publication No 163.

 

[4] Bonnefille R., 1992, Cours d’hydraulique maritime, 3e édition, Masson ed.

 

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[9] Galvin C., 1968, Slopes of Unbroken Periodic Gravity Waves, Transactions of the AGU, Vol. 49, No 1.

 

[10] Hardy T.A. & Kraus N.C., 1987, A Numerical Model for Shoaling and Refraction of Second-Order Cnoidal Waves over an Irregular Bottom, Coastal Engineering Research Center, Department of the Army, Final Report.

 

[11] Isobe M., Nishimura H & Horikawa K., 1982, Theorical Considerations on Perturbations Solutions for Waves of Permanent type, Bulletin of the Faculty of Engineering, Yokohama National University, vol. 31, pp. 29-57.

 

[12] Korteweg D.J & De Vries G, 1895, On the change of forme of long waves advancing in a recxtangular canal, and on a new type of long stationnary waves, Phil. Mag., Ser.5, Vol. 39, pp 422-443.

 

[13] Miche R., 1944, Mouvements ondulatoires de la mer en profondeur constante ou décroissante, Annales des Ponts et Chaussées, Paris, p 130.

[14] Spielmann K., 1999, Explicitations détaillées des équations dans le modèle 2DV, Rapport interne IMFT.

 

[15] Stoker J.J., 1992, Water Waves, The Mathematical Theory with Applications, Institute of Mathematical Sciences, New York University, New York

 

[16] Walker J.R., 1974, Recreationnal Surf Parameters, Look Laboratory Report TR-30, Department of Ocean Engineering, University of Hawaii, Honolulu, HI.

 

[17] Walker J.R., 1997, Surf Reef Fundamentals, First International Surfing Reef Symposium, University of Sydney, Australia, p 4.

 

[18] Weggel J.R., 1972, Maximum Breaker Height for Design, Proceedings of Coastal Engineering Conference, ASCE, pp 419-432.