Étude de la couche limite laminaire

Étude théorique

Dans cette partie, nous allons exploiter les simulations qui ont été faites sur le bloc en entier, en particulier la zone de couche laminaire, pour deux raisons. La première est de s'assurer que notre simulation est bien représentative de la réalité en comparant les résultats numériques à  la théorie, la deuxième raison est de s'assurer que les profils expérimentaux en entrée fournis sur le site d'ercoftac collent bien avec la simulation.

Tout d'abord, nous allons présenter les résultats théoriques concernant la partie laminaire.

Pour déterminer les profils de température et de vitesse théoriquement dans cette couche, nous allons nous baser bien évidemment sur les équations de Navier Stokes en couche limite, avec le modèle de Prandtl.

Ce modèle se base sur les mêmes hypothèses que nous avons mentionnées précédemment (voir http://hmf.enseeiht.fr/travaux/bei/beiep/content/g18/analyse-theorique-et-etude-preliminaire).

Nous obtenons donc les mêmes équations de conservation sauf le terme turbulent qui disparaît dans ce cas.

Conditions aux limites :

Vitesse :

$ \overrightarrow{U} (x,0)= \overrightarrow{0}$

$ u(x, \infty )=0 $

$ u(0,y)=0 $

 

Température :

T(x,0)=Tw ,

$ T(x,\infty)=Ta $

T(0,y)=Ta 

Donc finalement, notre problème est bien fermé.

Pour le résoudre, l'astuce est d'utiliser des variables de similitude qui permettent de passer des trois équations à dérivées partielles, à deux équations différentielles ordinaires.

 La variable de similitude adéquate pour ce cas est  : $ \eta (x,y)= (\frac {Gr_x} {4})^{1/4} \frac {y}{x} $

 Avec $ Gr_x=\frac{\beta g x^3 (T_w-T_a)}{\alpha^2} $.

Pour simplifier la résolution des équations, au lieu de considérer T, u et v , nous allons travailler avec les grandeurs suivantes :

$ \theta(x,y)=\theta(\eta)=\frac{T-T_\infty}{T_s-T_\infty} $

la fonction de courant $ \phi  $ telle que : $ u=\frac{\partial \phi}{\partial y}  $

 et $  v=\frac{\partial \phi}{\partial x}$

Nous pouvons écrire cette fonction de courant de la forme suivante : $ \phi=4 \nu \frac {Gr_x}{4}^{1/4}  \xi(\eta) $

Donc au lieu de travailler avec des EDP dont les inconnues sont u, v et T, nous allons considérer des EDO dont les inconnues sont $\theta$ et $\phi$ qui ne dépendent que de $\eta$.

Les équations ordinaires à résoudre sont :

 $\frac {d^3 \xi}{d \eta^3}+3 \xi \frac {d^2 \xi}{d \eta^2}-2 (\frac {d \xi}{d \eta})^2+ \theta=0 $

$ \frac {d^2 \theta}{d \eta^2}+3 Pr \xi (\frac {d \theta}{d \eta})=0 $

Pour les conditions aux limites, de la même façon, il faut les écrire en fonctions des nouvelles variables $ \xi $, $ \theta $ et $ \eta $.

Nous avons donc affaire à deux équations différentielles ordinaires (non-linéaires), avec les conditions aux limites qu'il faut, nous pouvons les résoudre numériquement facilement (avec matlab par exemple)..

A partir de cette résolution, nous pouvons accéder à des paramètres importants comme le nombre de Nusselt, l'épaisseur de la couche limite, la vitesse maximale en fonction de x, ..etc.

Le nombre de Nusselt :

Par définition du nombre de Nusselt : $ Nu= - \frac {\frac {\partial T}{\partial y} x }{Tw-Ta}$

Ce qui donne après calcul :  $ Nu= (\frac {Gr_x}{4})^{0.25} g(Pr).$

Avec $g(Pr)$=$ \frac {0.75 Pr^{0.5}}{(0.609+1.221 Pr^{0.5}+1.238 Pr)^{1/4}}$

L'épaisseur de la couche limite :

A partir de la définition de cette grandeur, on peut déduire facilement que cette grandeur varie en $ x^{1/4} $ : 

$ \delta (x) = x (\frac{Gr_x}{4})^{0.25}$

La vitesse maximale :

Une autre grandeur intéressante est la vitesse maximale Umax.

Théoriquement, on trouve que $ Umax \approx 0.5 \sqrt{g \beta (Tw-Ta) x} $

Exploitation des résultats & Comparaison

A présent nous avons les résultats théoriques ainsi que ceux de simulation. Un dernier point à préciser est que pour les différentes grandeurs que nous allons comparer, nous n'avons pas accès directement par Parafoam. Pour chaque grandeur, il y en a des manipulations à a faire.

Le nombre de Nusselt :

Numériquement, nous avons les profils de température en tout point, pour calculer le nusselt, il suffit de calculer le gradient de température au niveau de la paroi. Pour cela, nous avons calculé la différence entre la température de la paroi et celle de la maille qui suit suivant la direction y. Pour que le calcul soit correct, il faut avoir des mailles suffisamment fines.

Remarque Pour tout calcul sur Parafoam, il ne faut surtout pas exporter les résultats pour des lignes données utilisant plotoverline, car ceci ne permet d'avoir que des valeurs pour un pas d'espace de 0.005 quelque soit le maillage, l'une des faiblesses de cet outil. Pour surmonter cette difficulté, il faut exporter les résultats de tout le domaine, et après faire un tri sur les zones qui intéressent l'utilisateur.

La comparaison des deux approches donne :

                                 

Nous remarquons que les deux profils ne collent pas du tout, quelque soit le maillage. L'origine de cet écart ne provient pas de la simulation ni du maillage, car nous avons bien vérifié que la simulation est correcte, les profils expérimentaux à l'entrée de la couche limite turbulente collent bien avec les profils à la sortie du premier bloc. Le problème vient plutôt de la définition du gradient de température que nous avons considéré pour calculer le Nusselt numériquement. En effet, théoriquement, on montre que le Nusselt augmente avec x, ce qui est bien physique. Cependant, Si pour notre définition du gradient, comme la température suivant x augmente avec x, donc le gradient diminue forcément, par suite Le Nusselt diminue avec x. Nous avons beau cherché pour résoudre ce problème, mais malheureusement nous nous sommes pas arrivés à le résoudre. Les idées que nous avons eu pour surmonter cette difficulté étaient de chercher si OpenFOAM permet de calculer automatiquement ces grandeurs, en les codant par exemple (comment ce qu'on peut faire pour les coefficients de portance et de traînée). L'autre idée était de se servir du Python pour les coder, car ce langage s'avère très puissant pour l'automatisation des calculs et l'obtention des résultats. Malheureusement, nous n'avons pas eu le temps pour faire ces manipulations.

Vitesse maximale :

Pour cette grandeur, le calcul est moins délicat. La comparaison des deux approches nous donne :

 

 

                                      

 

Nous constatons que les deux profils ont la même forme avec un "léger" écart.

Epaisseur de la couche limite dynamique :

Concernant cette grandeur, c'était la galère pour la déterminer numériquement. En effet, si nous faisons un plotoverline pour tous les points du maillage, le calcul de cette épaisseur est impossible avec Parafoam, vu que cet outil considère des pas d'espace de 0.005m et non pas les points du maillage, ce qui est quasiment pas faisable, puisque cette épaisseur est de l'ordre du millimètre. Nous avons essayé d'exporter les résultats de tout le domaine, cependant, vu le nombre de points du maillage, et les vitesses qui étaient très sensibles, le calcul de cette grandeur était imprécis.