Les modèles retenus

Le dimensionnement 1D du combusteur s' effectue par le couplage de l' hydrodynamique du lit fluidisé circulant, des transferts thermiques et de matière entre les phases solide et gazeuses. Cette partie détaille les hypothèses simplificatrices retenues et les bilans qui ont été implantés dans le code. Elle rassemble l'intégralité de "la physique", des phénomènes qui inter-agissent dans le combusteur.

 

(http://sitephysiques.free.fr/images/Bienvenue%20en%20physique.jpg)

Grandeurs d'entrée et hypothèses

Les grandeurs d'entrée :

$d_p$ $\rho_p$ $Cp_p$ $\stackrel{.}{m_{O_2}}$ $\stackrel{.}{m_{C}}$ $T^0_g$
400$\mu\text{m}$ 740$\text{kg.m}^{-3}$ 1700$ \text{J.kg}^{-1} \text{K}^{-1}$ 120$\text{kg.h}^{-1}$ 300$\text{kg.h}^{-1}$ 800 °C
$T^0_p$ $\chi^0_d$ $U^0_p$ $P_{z=0}$ $D_c$ L
850 °C 1 0.1$\text{m.s}^{-1}$ 1 atm 0.1 m 7 m

Les hypothèses :

  • L'étude se fait en régime permanent : $\frac{\partial}{\partial t} = 0$
  • Elle ne prend en compte qu'une unique réaction : $C_{_\text{(solide)}} + O_{2_{\text{(gaz)}}} \to CO_{2_{\text{(gaz)}}}$
  • Cette réaction de combustion est supposée instantanée à la surface des particules de char
  • Les gaz sont supposés parfaits : loi des gaz parfaits $P V = n R T$
  • Les masses volumiques du char et du mélange gazeux sont supposées : constante pour la première et constante sur un pas d' espace pour la seconde
  • La phase solide n'est composé que de char (l' olivine n' a pas été prise en compte)
  • Les particules de char sont supposées sphériques et monodisperses
  • $U_{\sigma} \Gamma_k$, un terme source des bilans de quantité de mouvement induit par la réaction de combustion dans la phase k, est tel que $U_{\sigma} \Gamma_k$ = $U_{p} \Gamma_k$ , c'est à dire que le gaz produit, traversant l' interface particule de char/gaz, est supposé avoir la même vitesse que les particules de char
  • De même pour le terme source des bilans d' enthalpies dans la phase k : $H_{\sigma} \Gamma_k = H_{p} \Gamma_k$, l' enthalpie échangée à travers l'interface est supposée être directement transmise à la phase gazeuse environnante.

Equations bilans et transports de scalaires

Maintenant que les hypothèses sont connues, il est temps de présenter les bilans qui permettent d'obtenir les grandeurs de sortie :

1.Bilans de masses

2.Bilans de quantités de mouvements

3.Bilans d' enthalpies

4.Transports des scalaires

5.Les grandeurs non constantes

Les bilans ci dessous pour les phases solide et gazeuse sont écrits tels qu'ils apparaissent dans le code 1D. Leur forme finale présente un unique terme à gauche de l'égalité qui est la dérivée par rapport à la hauteur z d'une des inconnues qui passe par le sous programme de résolution.

Bilans de masses :

$\alpha_k$ : taux de présence de la phase k (adim.)

$\rho_k$ : masse volumique de la phase k $(\text{kg.m}^{-3})$

$U_k$ : Vitesse du gaz ou d'une particule $(\text{m.s}^{-1})$

$\Gamma_k$ : taux de transfert de masse vers la phase k $(\text{kg.m}^{-3}\text{.s}^{-1})$

$d_p$ : diamètre d' une particule de char (m)

Ils concernent les phases solide (k=p) et gazeuse (k=g) et s'écrivent sous cette forme pour une phase k :

$$\underbrace{\frac{{\partial \alpha_k \rho_k}}{\partial t}}_{\text{nul par hypothèse}} + \frac{{\partial (\alpha_k \rho_k U_k) }}{\partial z} = \Gamma_k \tag{1.0}$$

En développant le terme de gauche (1.0) devient :

$$ \alpha_k \rho_k \frac{{d  U_k }}{d z} + U_k \frac{{d (\alpha_k \rho_k)}}{d z}= \Gamma_k \tag{1.1}$$

L'écriture de (1.1) pour les deux phases donne accès aux dérivées du taux de présence du solide $\alpha_g$ et de la vitesse du gaz $U_g$ :

Pour la phase solide :

$$\frac{{d \alpha_p}}{d z}= (\frac{\Gamma_p}{\rho_p} - \alpha_p \frac{{d  U_p}}{d z}) \frac{1}{U_p} \tag{1.2}$$

Pour la phase gaz :

$$\frac{{d  U_g }}{d z} = (\frac{\Gamma_g}{\rho_g} -  U_g \frac{{d \alpha_g }}{d z}) \frac{1}{\alpha_g} \tag{1.3}$$

$$\sum_{k} \Gamma_k = 0 \tag{1.4}$$

$$\sum_{k} \alpha_k = 1 \tag{1.5}$$

Rappel : $\rho_p$ est constante et $\rho_g$ est supposée constante sur un pas d'espace.

Bilans de quantités de mouvements :

P : Pression (Pa)

g : accélération de la pesenteur $9.81 \quad (\text{m.s}^{-2})$

$\mu_g$ : viscosité dynamique du gaz (Pa.s)

$I_{l \to k}$ : interactions de la phase l sur la phase k ( force de traînée)

$F_{f,w \to k}$ : Force de frottement des parois sur la phase k

Ici sont obtenues les dérivées de la pression et de la vitesse d'une particule de char :

$$\underbrace{\frac{{\partial \alpha_k \rho_k U_k}}{\partial t}}_{\text{nul par hypothèse}} + \frac{{\partial \alpha_k \rho_k U_k^2 }}{\partial z} = -\alpha_k \frac{\partial P}{\partial z} - \alpha_k \rho_k g + I_{l \to k} + (\underbrace{U_{\sigma}}_{U_{\sigma} = U_p} - U_k) \Gamma_k + F_{f,w \to k} \tag{2.0}$$

En développant le terme de gauche de (2.0) il vient :

$$2 \alpha_k \rho_k U_k \frac{{d U_k}}{d z} + U_k^2 \rho_k  \frac{{d \alpha_k }}{d z} = -\alpha_k \frac{d P}{d z} - \alpha_k \rho_k g + I_{l \to k}+(U_p - U_k) \Gamma_k + F_{f,w \to k} \tag{2.1}$$

Pour le solide :

$$\frac{{d U_p}}{d z} = -(\alpha_p \frac{d P}{d z} - \alpha_p \rho_p g + I_{g \to p} - U_p^2 \rho_p  \frac{{d \alpha_p }}{d z}) \frac{1}{2 \alpha_p \rho_p U_p} \tag{2.2}$$

Pour le gaz :

$$\frac{d P}{d z} = (- \alpha_g \rho_g g + I_{p \to g} + (U_p - U_g) \Gamma_g + F_{f,w \to g} - U_g^2 \rho_g  \frac{{d \alpha_g }}{d z} - 2 \alpha_g \rho_g U_g \frac{{d U_g}}{d z}) \frac{1}{\alpha_g}  \tag{2.3}$$

$ I_{l \to k} = \alpha_l \rho_l \frac{U_r}{\tau^F_{gp}}$ avec $U_r = (U_l - U_k)$

$$\frac{1}{\tau^F_{gp}} = \frac{3}{4} \frac{\rho_g}{\rho_p} \frac {C_D Re_p}{d_p} U_r$$

$\tau^F_{gp}$ est le temps caractéristique d' entraînement des particules par l'écoulement

$Re_p$ est le nombre de Reynolds particulaire tel que : $Re_p = \frac{\rho_g d_p U_r}{\mu_g}$

$C_D$ est le coefficient de traînée approximé ici par la corrélation de Wen & Yu :

$$C_D = \frac{24}{Re_p} (1+0.15 Re^{0.687}_p) \alpha_g$$

Rappel : $U_{\sigma} = U_p$ par hypothèse

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Bilans d' enthalpies :

$H_k$ : enthalpie de la phase k $(\text{J.kg}^{-1})$

$\Pi_{k \to l}$ : terme d' advection diffusion de la phase k vers la phase l

$\tau_{gp}$ : temps caractéristique des phénomènes d'advection diffusion $(\text{s}^{-1})$

$T_k$ : température de la phase k (K)

$Cp_k$ : capacité calorifique à pression constante de la phase k $(\text{J.kg}^{-1}\text{.K}^{-1})$

$Nu_p$ : nombre de Nusselt particulaire

$\lambda_g$ : conductivité thermique du gaz $\text{W.m}^{-1} \text{.K}^{-1}$

Ces deux bilans permettent d'obtenir les évolutions des températures du gaz $T_g$ et des particules de char $T_p$ :

$$\underbrace{\frac{\partial \alpha_k \rho_k H_k}{\partial t}}_{\text{nul par hypothèse}} + \frac{\partial  \alpha_k \rho_k U_k H_k}{\partial z} = \underbrace{H_{\sigma}}_{H_{\sigma} = H_p} \Gamma_k + \Pi_{k \to l} \tag{3.0}$$

En développant le terme de gauche il vient :

$$\alpha_k \rho_k U_k \frac{d  H_k}{d z} +  H_k \underbrace{\frac{d  (\alpha_k \rho_k U_k)}{d z}}_{= \Gamma_k \text{,(1.0)}} = H_{p} \Gamma_k + \Pi_{k \to l} \tag{3.1}$$

Pour le solide :

$$\alpha_p \rho_p U_p Cp_p \frac{d  T_p}{d z} = \underbrace{\frac{\alpha_p \rho_p Cp_p}{\tau^T_{gp}} (T_p - T_g)}_{ \Pi_{p \to g}} \tag{3.2}$$

Finalement (3.2) devient :

$$ \frac{d  T_p}{d z} = \frac{(T_p - T_g)}{U_p \tau^T_{gp}} \tag{3.3}$$

Pour le gaz :
 

$$\alpha_g \rho_g U_g Cp_g \frac{d  T_g}{d z} = (H_s - H_g) \Gamma_g + \underbrace{\frac{\alpha_s \rho_s Cp_s}{\tau^T_{gp}} (T_g - T_s)}_{ \Pi_{g \to s}} \tag{3.4}$$

Enfin (3.4) s'écrit :

$$\frac{d  T_g}{d z} = \frac{(H_s - H_g)}{\alpha_g \rho_g U_g Cp_g} \Gamma_g + \frac{\alpha_s \rho_s Cp_s}{\alpha_g \rho_g U_g Cp_g \tau^T_{gp}} (T_g - T_s) \tag{3.5}$$

$\tau^T_{gp}$ est le temps caractéristique des phénomènes de transferts thermiques type convection/diffusion

$$\frac{1}{\tau^T_{gp}} = \frac{6 \lambda_g}{\rho_p Cp_p} \frac{Nu_p}{d^2_p}$$

Le nombre de Nusselt est approximé par la corrélation de Ranz-Marshall :

$$Nu_p = 2+0.6 Re^{0.5}_p Pr^{0.33}_p$$

$Pr_p$ est le nombre de Prandt tel que : $Pr_p = \frac{Cp_g \mu_g}{\lambda_g}$

Rappel : $H_{\sigma} = H_p$ par hypothèse

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Transports des scalaires :

$\omega_k$ : masse molaire du composé k $(\text{kg.mol}^{-1})$

$\chi_d$ : caractérise le diamètre des particules de char (adim.)

R : constante des gaz parfait $(8.314 \quad \text{J.mol}^{-1}\text{.K}^{-1})$

Il s'agit ici de connaître les variations de la fraction massique de $CO_2$ et du diamètre des particules de char, à travers la grandeur $\chi_d$, sur un pas d' espace :

Pour la fraction massique de $Co_2$ :

$$\underbrace{\frac{{\partial \alpha_g \rho_g Y_{CO_2}}}{\partial t}}_{\text{nul par hypothèse}} + \frac{{\partial \alpha_g \rho_g U_g Y_{CO_2} }}{\partial z} = \frac{\omega_{CO_2}}{\omega_{C}}\Gamma_g \tag{4.0}$$

En développant le terme de gauche, (4.0) devient :

$$ \alpha_g \rho_g U_g \frac{d Y_{CO_2}}{d z} + Y_{CO_2} \underbrace{\frac{d (\alpha_g \rho_g U_g)}{d z}}_{= \Gamma_g \text{(1.0)}} = \frac{\omega_{CO_2}}{\omega_{C}}\Gamma_g \tag{4.1}$$

Ce qui donne :

$$\frac{d Y_{CO_2}}{d z} = (Y_{CO_2} - \frac{\omega_{CO_2}}{\omega_{C}}) \frac{\Gamma_p}{ \alpha_g \rho_g U_g} \tag{4.2}$$

Pour $\chi_d$ :

$$\chi_d = \frac{\rho^0_p}{\rho_p} (\frac{d^0_p}{d_p})^3 = (\frac{d^0_p}{d_p})^3$$

Avec $d^0_p$ le diamètre initiale des particules

$$\underbrace{\frac{{\partial \alpha_p \rho_p Y_{CO_2}}}{\partial t}}_{\text{nul par hypothèse}} + \frac{{\partial \alpha_p \rho_p U_p \chi_d }}{\partial z} = 0 \tag{5.0}$$

Puis (5.0) donne :

$$ \alpha_p \rho_p U_p \frac{{d \chi_d }}{d z} + \chi_d \underbrace{\frac{{d (\alpha_p \rho_p U_p) }}{d z}}_{= \Gamma_p \text{(1.0)}} = 0 \tag{5.1}$$

Finalement :

$$\frac{{d \chi_d }}{d z}  = \frac{\chi_d \Gamma_p}{\alpha_p \rho_p U_p} \tag{5.2}$$

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Les grandeurs non constantes :

Il faut préciser que la masse volumique du mélange gazeux $(\rho_g)$, sa capacité calorifique à pression constante $(Cp_g)$, la concentration molaire en $O_2$ $(C_{O_2})$, le terme de transfert de masse $\Gamma_p$ ainsi que le diamètre des particules $d_p$ sont réactualisé à chaque itération

Masse volumique du mélange gazeux $(\rho_g)$ :

$$\rho_g = \frac{P}{R T_g} \underbrace{\bigg(\frac{\displaystyle{\sum_{i=1}^2 Y_i}}{\displaystyle{\sum_{i=1}^2 (\frac{Y_i}{\omega_i})}}\bigg)}_{\omega_{\text{mélange}}}\tag{6.0}$$

Capacité calorifique à pression constante $(Cp_g)$ :

$$Cp_g = \sum_{i=1}^2 (Cp_i Y_i) \tag{7.0}$$

Concentration molaire en $O_2$ $(C_{O_2})$ :

$$C_{O_2} = \frac{(1-Y_{CO_2}) \rho_g \alpha_g}{\omega_{O_2}} \tag{8.0}$$

Le taux de transfert de masse (le terme source $\Gamma_s$ en $kg.m^{-3}.s^{-1}$) va lui aussi varier à chaque pas d' espace puisqu'il s'exprime tel que :

$$\Gamma_s = \frac{6 \alpha_s r_c \omega_c}{d_p} \tag{9.0}$$

$$(\Gamma_s = - \Gamma_g)$$

avec $r_c$ la loi de vitesse pour la réaction de combustion hétérogène (en $mol.m^{-2}.s^{-1}$ pour une particule de char) telle que :

$$r_c = - \frac{1}{S_{\text{particule}}} \underbrace{\frac{d n_c}{d t}}_{(1)} = - k_c (\underbrace{C^{\text{surface}}_{O_2}}_{(2)} - C^{\infty}_{O_2})$$

Avec (1) : la variation du nombre de mole par rapport au temps pour une particule de char

        (2) : terme nul par hypothèse

d'où $$r_c = -k_c C^{\infty}_{O_2} \tag{10.0}$$

$k_c$ est le coefficient de transfert de matière du gaz vers la particule de char (en $m.s^{-1}$) et s' approxime de la manière suivante dans ce cas :

$$k_c = \frac{Sh \quad D_{O_2}}{d_p} \backsimeq \frac{2}{d_p} \frac{T_g^{\frac{2}{3}}}{P} \tag{11.0}$$

Rappel : Le nombre de Sherwood est pris égal à 2 et le coefficient de diffusion du $O_2$ dans l'air est approximé tel qu'il apparaît au dessus.

Le diamètre des particules de char $d_p$ :

$$d_p = d^0_p \chi^{-\frac{1}{3}} \tag{12.0}$$

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