Modélisation

Afin de modéliser au mieux les phénomènes thermo-hydrauliques, différents modèles diphasiques sont utilisés.

L'écoulement en entrée de l'évaporateur est supposé annulaire : la vapeur s'écoule au centre et le liquide est en paroi. La chaleur émise par les composants électroniques va initier un changement de phase : le liquide va peu à peu se vaporiser. Le titre massique de vapeur, noté x, va ainsi croître et la vitesse superficielle du gaz Jg va augmenter d'après l'équation :

$J_g = \frac{Gx}{\rho_g}$

G est le débit massique surfacique en kg/m2/s et ρg la masse volumique de la vapeur.

La vitesse du gaz étant supérieure à celle du liquide, il peut y avoir arrachement de gouttelettes de liquide à l'interface. Ce phénomène ne se produit qu'à partir d'une vitesse superficielle du gaz Jg critique. Pour se rendre compte de l'influence de l'arrachage sur la modélisation, deux modèles sont testés:

 

MODÈLES HYDRAULIQUES

Dans cette partie, l'écoulement est supposé annulaire sans arrachage. Les frottements interfaciaux τi sont modélisés grâce au modèle de Wallis tandis que les frottements pariétaux τp avec les modèles de Lockhart & Martinelli, de Baroczy et d'Awad. En ce qui concerne les pertes de charge singulières dans les coudes, un modèle issu d'expériences en laboratoire a été implémenté dans le programme.

Il faut toutefois rester vigilant à l'évolution du titre massique :

 

Modèle Annulaire sans arrachage

Lorsque le taux de vide est important, la phase gazeuse occupe le centre du tube tandis que la phase liquide se trouve sous la forme d'un film le long de la paroi du tube, c'est ce que l'on appelle un écoulement annulaire. En fonction des conditions imposées, il se peut également qu'une partie non négligeable du liquide se trouve sous forme de gouttelettes en suspension dans le cœur de vapeur ; l'écoulement est alors dit annulaire dispersé. Il s'agit du modèle annulaire avec arrachage qui est traité plus loin (paragraphe 5).

La connaissance de l’épaisseur de film, notée t, est importante pour l’estimation des transferts thermiques. Cette épaisseur du film diminue au fur et à mesure que la vitesse superficielle de la vapeur augmente.

Les équations qui régissent ce modèle s'écrivent comme suit :

$\frac{dR_g}{dz}G^2(\frac{R_l x^2}{\rho_g R_g ^2}+\frac{R_g (1-x)^2}{\rho_l R_l ^2}) = -\frac{\tau_{ig}4}{D}\sqrt{R_g}+R_g \frac{\tau_p 4}{D}-(\rho_l - \rho_g) R_g R_l g + G^2 \frac{dx}{dz}(\frac{2xR_l}{\rho_g R_g} + \frac{(1-x)(2 R_g -1)}{\rho_l R_l})$ [1]

 

$\frac{dp}{dz} = \frac{-d}{dz}(\frac{G^2 x^2}{\rho_g R_g})-\frac{d}{dz}(\frac{G^2 (1-x)^2}{\rho_l R_l}) + \frac{\tau_p 4}{D} - (\rho_l R_l + \rho_g R_g) g$ [2]

 

$\frac{dx}{dz} = \frac{4q}{G D h_lv}$ [3]

 

$t = \frac{D}{2}(1-\sqrt{R_g})$

L’équation [1] est obtenue en éliminant le gradient de pression entre les équations de quantité de mouvement pour le liquide et la vapeur. L’équation [2] est l’équation de quantité d emouvement pour le mélange et l’équation [3], le bilan d’enthalpie.

Le taux de vide, les pertes de charge et le titre sont ainsi déterminés le long de l'évaporateur, pour chaque pas ∆z.

NB : Ces équations sont utilisées lorsque le fluide réfrigérant est au niveau d’un composant. Lorsque ce n’est pas le cas, l’écoulement est adiabatique et il n'y aucun changement de phase. Le taux de vide Rg et le titre massique x sont constants et les termes faisant intervenir les dérivées de x et Rg sont nuls dans les équations [1] et [2].

 

Frottement interfacial

Le Modèle de Wallis [2] permet de modéliser les frottements interfaciaux τi entre la phase liquide et la phase gazeuse. Il est défini comme suit: $\tau_i = -\frac{1}{2} f_i \rho_g |U_g - U_l|(U_g -U_l)$ avec  $f_i = 0.005 (1+300 \frac{\delta}{D}) = 0.005 [1 + 150(1-\sqrt{R_g})]$.

Les vitesses du gaz Ug et du liquide Ul sont déterminées à partir des vitesses superficielles Jg et Jl calculées à chaque pas spatial de la façon :

$U_g = \frac{J_g}{R_g}$,  $U_l = \frac{J_l}{R_l}$ , avec  $R_g + R_l = 1$   et  $J_g = \frac{G x}{\rho_g}$ , $J_l = \frac{G (1-x)}{\rho_l}$.

Frottement pariétal

Plusieurs modélisations des frottements pariétaux sont envisageables:

Modèle de Lockhart & Martinelli

Le modèle de Lockhart et Martinelli [2] permet de déterminer le frottement pariétal τp. Ce modèle est l'un des plus vieux et des plus utilisés pour calculer les pertes de charges diphasiques par frottement. Cette corrélation a été établie pour des écoulements adiabatiques en tube de section cylindrique. Il utilise le paramètre de Martinelli χ, qui compare la dissipation des deux phases.

Étape 1 : On calcule les pertes de charge dans la phase liquide et la phase gazeuse telles que :

$(\frac{dp}{dz})_l = -\frac{S_p}{A}f_{pl}\frac{\rho_l J_l ^2}{2}$ , $(\frac{dp}{dz})_g = -\frac{S_p}{A}f_{pg}\frac{\rho_g J_g ^2}{2}$.

Les coefficients de frottement pariétal sont définis de la manière suivante :

$f_{pl} = K(\frac{J_l D}{\nu_l})^{-n}$ , $f_{pg} = K(\frac{J_g D}{\nu_g})^{-n}$

Avec :

Les nombres de Reynolds sont basés sur les vitesses superficielles : $Re_l = \frac{J_l D}{\nu_l}$ , $Re_g = \frac{J_g D}{\nu_g}$.

Étape 2 : On calcule le paramètre de Martinelli χ, tel que:

$X = \sqrt{\frac{(dp/dz)_l}{(dp/dz)_g}} = \frac{J_l}{J_g}\sqrt{\frac{\rho_l f_pl}{\rho_g f_pg}}$

Étape 3 : On calcule les coefficients multiplicatifs φl et φg tels que :

$\varphi_l ^2 = (1+\frac{C}{X}+\frac{1}{X^2})$ , $\varphi_g ^2 = (1+ CX+X^2)$.

 

Le paramètre C étant fonction du régime d'écoulement :

Paramètre de Lockhart & Martinelli.
Liquide Gaz C
Turbulent Turbulent 20
Laminaire Turbulent 12
Turbulent Laminaire 10
Laminaire Laminaire 5

Le régime laminaire est défini pour un Reynolds inférieur à 2000 et le régime turbulent pour un Reynolds supérieur à 3000. Dans la zone de transition, il n'y a donc pas de corrélation. Dans les simulations, le changement de régime occasionne des discontinuités dans l'expression de la contrainte de frottement diphasique. Le problème a été résolu en utilisant le lissage proposé par Erik de Malmazet, post-doctorant ayant travaillé sur le sujet à l'IMFT. Cette interpolation linéaire de C est une fonction de log(Rel) et/ou log(Reg). Lorsqu'une seule des deux phases est dans la zone de transition (cas le plus fréquemment rencontré), l'interpolation linéaire de C est de type C(Rel)=a*log(Rel)+b ou C(Reg)=a'*log(Reg)+b'.

A titre d'exemple, dans le cas où le gaz est en régime turbulent et le liquide en régime de transition, la corrélation utilisée est :

$C(Re_l)= \frac{20-12}{log (3000)-log(2000)}*(log( Re_l)-log(2000))+12$

Dans le cas où les deux phases sont en zone de transition, on utilise deux interpolations linéaires de C du type C(Rel, Reg)=a*log(Rel)+b*log(Reg)+c, une pour le cas Rel>Reg et l'autre pour le cas Rel<Reg.

Étape 4 : On peut alors calculer les pertes de charge par frottement :

$\left ( \frac{dp}{dz} \right )_{fr}=\frac{\tau_p S_p}{A}={\varphi_l}^2 \left ( \frac{dp}{dz} \right )_{l}={\varphi_g}^2 \left ( \frac{dp}{dz} \right )_{g}$.

Modèle de Baroczy

La corrélation de Baroczy [3] consiste à exprimer les pertes de charge par frottement diphasique en fonction des pertes de charge par frottement (dP/dz)l que l’on aurait si la phase liquide s’écoulait seule avec le même débit masse qu'en écoulement diphasique. Pour cela, il faut pouvoir exprimer le coefficient multiplicatif  défini de la manière suivante :

${\varphi_{l0}}^2=\frac{\left ({dp}/{dz} \right )_{fr}}{\left ( {dp}/{dz} \right )_l}$

Pour cela, on utilise aussi les pertes de charge par frottement (dP/dz)g que l’on aurait si la phase vapeur s’écoulait seule avec le même débit de masse que l’écoulement diphasique et on introduit la variable Y définie de la manière suivante :

$Y^2=\frac{\left ({dp}/{dz} \right )_g}{\left ( {dp}/{dz} \right )_l}= \frac{1}{X^2}$

Les pertes de charge (dP/dz)l et (dP/dz)g sont définies de la même manière que dans le modèle de Lockhart et Martinelli.

Les deux phases s’écoulant seules, avec le même débit masse qu'en écoulement diphasique, auraient respectivement les vitesses moyennes  $V_l=G/\rho_l$ et $V_g=G/\rho_g$, à partir desquelles on peut définir les nombres de Reynolds  $Re_{V l}$ et $Re_{V g}$ . On a alors :

$Y^2=\frac{\rho_g}{\rho_l} \frac{f_{pg}}{f_{pl}}\frac{{J_{g}}^2}{{J_{l}}^2}$

Baroczy donne une expression de ${\varphi_{l0}}$ à partir de nombreux points expérimentaux pour différents fluides. La corrélation qu’il obtient est graphique mais ses courbes ont par la suite été corrélées par Chisholm en 1973, qui a obtenu l’expression suivante :

${\varphi_{l0}}^2=1+(Y^2-1) [B x^{\frac{2-n}{2}} (1-x)^{\frac{2-n}{2}}+x^{2-n}]$

n est l’opposé de l’exposant de  que l’on a dans f($Re_{V l}$), soit :

B est une variable dépendant de Y et de G dont l’expression varie en fonction de la valeur de Y :

Paramètre de Baroczy.
Valeur de Y $0<Y<9,5$ $9,5 <Y<28$ $28<Y$
Valeur de B $\frac{55}{G^{1/2}}$ $\frac{520}{YG^{1/2}}$ $\frac{15000}{Y^2 G^{1/2}}$

Finalement, on peut calculer les pertes de charge par frottement :

$\left ( \frac{dp}{dz} \right )_{fr}= {\varphi_{l0}}^2 \left ( \frac{dp}{dz} \right )_{l}$

Modèle d'Awad

Le modèle d'Awad [4] est un autre modèle empirique qui permet de déterminer le frottement pariétal. On calcule le nombre de Reynolds de chaque phase tel que :

$Re_l=\frac{J_l D}{\nu_l} $ et $Re_g=\frac{J_g D}{\nu_g} $

Les coefficients de frottement pariétal liquide fpl et gazeux fpg sont définis de la même manière que dans le modèle de Lockhart et Martinelli.

On calcule alors le paramètre X, de la même façon que le paramètre de Martinelli :

$X=\frac{J_l}{J_g} \sqrt{\frac{\rho_l f_{pl}}{\rho_g F_{pg}}}$

Les définitions de $\varphi_l$ et $\varphi_g$ changent :

${\varphi_l}^2=\left ( 1+ \left (  \frac{1}{X^2} \right )^p \right )^{1/p}$  et  ${\varphi_l}^2=\left ( 1+ \left (  \frac{1}{X^2}\right )^p \right )^{1/p}$

 

La valeur du paramètre p est difficile à déterminer. Elle varie en fonction des cas et généralement, elle est choisie comme le minimum de l’erreur RMS. Pour assurer des conditions de robustesse, p = 2/7. On peut alors calculer le gradient de pression liquide et gazeux.

$\left ( \frac{dp}{dz} \right )_{l}=-\frac{S_p}{A}f_{pl}\frac{\rho_l {J_l}^2}{2}$ et  $\left ( \frac{dp}{dz} \right )_{d}=-\frac{S_p}{A}f_{pg}\frac{\rho_g {J_g}^2}{2}$

Le gradient de pression par frottement s'écrit alors :

$\left ( \frac{dp}{dz} \right )_{fr}=\frac{\tau_p S_p}{A}={\varphi_l}^2 \left ( \frac{dp}{dz} \right )_{l}={\varphi_g}^2 \left ( \frac{dp}{dz} \right )_{g}$

Finalement, le modèle d’Awad reprend les mêmes équations que le modèle de Lockhart et Martinelli. Les seuls paramètres qui changent sont les facteurs diphasiques $\varphi_l$ et $\varphi_g$.

 

Modèle Monophasique

Lorsque le titre de vapeur x atteint l'unité, c'est le modèle monophasique qui est utilisé. Le cahier des charges imposant en sortie un titre massique x proche de 1, il est normal de s'intéresser au cas d'un modèle à un fluide pour calculer les pertes de charge.

$\frac{dp}{dz}=\frac{4 \tau_p}{D}$ avec $\tau_p =-0,5f_c \rho_g {U_g}^2$.

Le coefficient de frottement pariétal fc dépend du régime d'écoulement dans lequel on se situe :$\left\{\begin{array}{l l} f_{c} = 16/Re_g & \quad \text{si $Re_g < 2000$}\\f_{c} = 0,079 Re_g ^{0,25} & \quad \text{si $Re_g > 2000$}\end{array} \right.$   

 

Perte de charge dans les coudes

La littérature [5] renseigne un modèle empirique pour les pertes de charge :

$\Delta p_{rb}= \Phi \Delta p_{sp}$

$\Delta p_{rb}$ est la perte de charge totale à travers un coude pour un écoulement diphasique et

$\Delta p_{sp}$ défini la perte de charge totale à travers un coude en écoulement monophasique. Elle s'écrit : $\Delta p_{sp}=K_{sp} \frac{G^2}{2 \rho_l}$.

Ksp est le coefficient de perte de charge local pour un écoulement monophasique liquide. Pour estimer sa valeur [Idelcik 1986] suggère l'expression suivante :

$K_{sp}=f_{pl} \frac{L}{D}+0,294 \left ( \frac{R}{D} \right )^{0,5}$

où R est le rayon de courbure et fpl le coefficient de frottement pariétal calculé par les modèles explicités précédemment.

Le coefficient multiplicateur pour l’écoulement diphasique ϕ est donné par : $\Phi=1+ \left ( \frac{\rho_l}{\rho_g} -1 \right ) x [b(1-x)+x]$ avec $b=1+ \frac{2,2}{K_{sp}(2+ \frac{R}{D})}$.

 

MODÈLES THERMIQUES

Du point de vue thermique, il s'agit de modéliser les transferts de chaleur. Le type de corrélation utilisé dépend tout d'abord du régime d'ébullition, lié au taux de vide et plus généralement aux conditions d'entrée.

Pour le régime d'ébullition saturée, le liquide en entrée est à la température de saturation et son taux de vide n'est pas nul. On observe une forte évolution longitudinale de l'écoulement, ce dernier pouvant être à bulles, poches bouchons et annulaire. Mais on ne s’intéresse qu'au régime annulaire.

L'ensemble des flux dégagés par les composants électroniques est connu au sein de la géométrie ; ils sont tous constants. Cette chaleur est dissipée grâce à la vaporisation du fluide circulant dans l'évaporateur. L'objectif est de déterminer la température des différents composants.

En régime d'ébullition nucléée saturée, on suppose que le fluide dans l'évaporateur est à sa température de saturation Tl= TSAT , et que l'intégralité du flux thermique sert à vaporiser le fluide réfrigérant. De plus, on suppose que les phases vapeur et liquide sont en équilibre thermodynamique lorsque un changement d'état se produit au niveau du fluide. On peut alors accéder à l'évolution du titre massique le long de l'évaporateur :

$\frac{dx}{dz}= \frac{qS_p}{AGh_{lg}D}$

Pour chaque pas d'espace Δz, on peut ainsi calculer le titre massique x puis en déduire le coefficient d'échange thermique le long du tube. Le coefficient d'échange thermique est déterminé d'après les corrélations de Kandlikar, de Gunger & Winterton, de Schrock & Grossman et de Chen ; toutes décrites ci-dessous.

Calcul du coefficient d'échange thermique h

Notations et définitions

On introduit les grandeurs suivantes :

 

Corrélations de Kandlikar

La corrélation de Kandlikar [2] exprime le coefficient d'échange thermique comme suit :

$h=h_l \left [ C_1 {C_0}^{C_2} (25Fr)^{C_5}+C_3 Bo^{C_4}F_k \right ]$

Pour déterminer les différentes constantes de l'équation, il est nécessaire de s'intéresser à l'écoulement dans la phase liquide. Pour cela, il faut calculer le nombre d'ébullition Bo, le nombre de Froude Fr et la constante C0 définie telle que   $C_0= \left ( \frac{1-x}{x} \right )^{0,8} \sqrt{\frac{\rho_g}{\rho_l}}$.

Les valeurs des constantes Ci sont déduites de C0 :

Paramètre de Kandlikar
  C0<0,65 C0>0,65
C1 1,1360 0,6683
C2 -0,9 -0,2
C3 667,2 1058
C4 0,7 0,7
C5 0,3 0,3

C5=0 pour les tubes verticaux et les tubes horizontaux quand Fr>0.04. Pour le fluide R245FA, Fk = 1,4.

 

Corrélation de Gunger & Winterton

Selon le modèle de Gunger et Winterton [2] $h=h_l \left [ 1+3000Bo^{0,86}+ \left ( \frac{x}{1-x} \right )^{3/4} \left ( \frac{\rho_l}{\rho_g} \right )^{0,41} \right ]$

 

Corrélation de Schrock & Grossman

Selon le modèle de Schrock et Grossman [2] $h=7,39.10^3 h_l \left [ Bo+0,00015 \left ( \frac{1}{X_{tt}} \right )^{0,66} \right ]$

 

Corrélation de Chen

Chen [2] a proposé la première corrélation pour de l'évaporation en tube vertical pour une large gamme de validité. Il a considéré le coefficient de transfert thermique de l'écoulement diphasique h comme la somme du coefficient de transfert thermique lié au phénomène de nucléation et au phénomène de convection.

Dans son modèle, il a supposé que le gradient de température imposé par les conditions de convection forcée supprimait une partie des sites de nucléation, réduisant ainsi le coefficient de transfert thermique associé à ce phénomène. Plus le titre augmente, plus la turbulence se développe favorisant ainsi les transferts de chaleur.

Le coefficient de transfert thermique peut ainsi être modélisé de la sorte : $h=Sh_n+Fh_l$ avec :

 

Modèle monophasique (x=1)

Lorsque le titre x tend vers un, l'écoulement est considéré comme monophasique vapeur. Le bilan thermique local s'écrit alors:GC_{pg} \frac{dT_g}{dz}=q \frac{S_p}{A}$. Tl correspondant à la température du liquide.

Pour un flux imposé: $T_g(z)-T_{ge}= \frac{q S_p}{AGC_{pg}}(z-z_e)$ et  $T_p(z)-T_{g}(z)= \frac{q}{h_g}$.

Le coefficient d'échange thermique est donné par : $h_g=0,023 \frac{\lambda_g}{D} [ \ \left (\frac{GD}{\mu_g} \right ) \ ] ^{0,8} Pr^{1/3}$

Calcul des températures

Maintenant que l'évolution du coefficient de transfert thermique est connue le long de l'évaporateur, la température en paroi et celle des différents composants peuvent être déterminées. Une schématisation simplifiée des résistances thermiques permet de relier ces deux températures. Les tubes cylindriques sont attachés à des ailettes. Ces ailettes sont-elles-mêmes en contact avec les composants en question. Les composants électroniques sont imités par des résistances qui dissipent de l'énergie de manière homogène. Les différentes résistances prises en compte sont les suivantes :

La figure ci-dessous représente le circuit de résistances associé au problème. Certains composants sont parcourus plusieurs fois par les tubes (n*3 tubes), dans ce cas, le sens de l'écoulement n'est pas le même: la gravité change de signe.

Par une analogie électrique, les températures de la paroi, des ailettes et des composants peuvent être déterminées à partir de celle du fluide.

La méthode est la suivante:

$T_p=T_{sat}+ \frac{q}{h}$ en diphasique; ou  $T_p=T_{sat}+ \frac{q S_p}{AGC_{pg} }\Delta z +\frac{q}{h_g} $ en monophasique;

$T_{ailette}=T_p + \frac{3 \pi n_{passages} DR_{cond}Q}{Ll^2}$

$T_{composant}=T_{ailette}+R_{contact} \frac{Q}{Ll}$

où  q est le flux de chaleur surfacique échangé à la paroi en W/m²,

Q est la puissance dissipée par l'élément en W,

l la largeur de l'ailette en m,

L la longueur du composant en m et

nPASSAGE le nombre de passages du tube.

 

L'ensemble des corrélations présentées jusqu'ici constitue la théorie pour un écoulement annulaire sans arrachage. Autrement dit, la phase gazeuse occupe le centre du tube tandis que la phase liquide se trouve sous la forme d'un film le long de la paroi. Dans le modèle de A. Cioncolini qui est présenté ci-dessous, il est fait l’hypothèse qu'une partie du liquide en paroi est arrachée sous forme de gouttelettes.

 

MODELE DE A. CIONCOLINI

Il s'agit d'un modèle annulaire avec arrachage [6]. Il est applicable aux écoulements annulaires et prédit l'évolution des valeurs du coefficient d'échange thermique , des pertes de charges, du taux d’entraînement, de l'épaisseur du film liquide et du taux de vide.

Le taux d'entraînement, noté e, est calculé comme une fonction du nombre de Weber associé à l'écoulement gazeux au cœur de la conduite : $e=(1+279,6{We_c}^{-0,8395)^{-2,209}} $ pour 10¹<WeC<10⁵. Avec $We_c = \frac{\rho_C {J_g}^2 d}{\sigma}$ où Jg est la vitesse superficielle du gaz Ug et $\rho_c$ la masse volumique du coeur définie comme $\rho_C = \frac{x+e(1-x)}{x/\rho_g +e(1-x)/\rho_l}$. [7]

 

Le taux de vide Rg lui est défini comme suit: $R_g =\frac{Kx^n}{1+(K-1)x^n}$ avec $\left\{\begin{array}{l l} K=a+(1-a)(\rho_g / \rho_l)^{\alpha} \\n=b+(1-b)(\rho_g /\rho_l)^{\beta} \end{array} \right.$ [8].

 

Le gradient de pression totale, c'est à dire qui fait intervenir l'accélération, la gravité et le frottement s'écrit:

$\frac{dp}{dz}= \frac{4 \tau_p}{D} - G^2\frac{d}{dz} \left [ \frac{x^2}{\rho_g R_g} \frac{e^2(1-x)^2}{\rho_l \gamma (1-R_g)} + \frac{(1-e)^2(1-x)^2}{\rho_l (1- \gamma) (1-R_g)} \right] - [\rho_l (1-R_g)+\rho_g R_g]g$

 

Le frottement pariétal  $\tau_p$  s'écrit : $\tau_p= \frac{1}{2} f_{tp} \rho_C V_C^2$ . Où le coefficient de frottement est déterminé par la corrélation de Fanning $f_{pl}=0,172 {We_c}^{-0,372}$ pour WeC>100.

Avec dC le diamètre interne du coeur:  $d_C=D \sqrt{R_g \frac{x \rho_l +e(1-x) \rho_g}{x \rho_l}}$ .

VC est la vitesse du coeur diphasique:  $V_C=\frac{4}{\pi} \frac{\left[ x+e(1-x) \right] \dot {m} }{\rho_C d_C^2}$ [9].

 

L'épaisseur du film liquide t est quant à elle définie comme   $t=y^{*} max \left(\sqrt{\frac{2 \Gamma_{lf}^{+}}{R^{+}}} ; 0,066 \frac{\Gamma_{lf}^{+}}{R^{+}} \right)$ [10].

Où $y^{*}=\frac{\mu_l}{\rho_l V^{"*"}}$ est l'échelle de longueur;

      $V^{*}=\sqrt{\frac{\tau_p}{\rho_l}}$ est l'échelle de vitesse;

      $\Gamma_{lf}^{+}=\frac{(1-e)(1-x) \dot {m}}{2 \pi \rho_l V^{*}{y^{*}}^2}$ est le débit dans le film liquide adimensionnalisé;

      $R^{+}=\frac{R}{y^{*}}$ es le rayon du tube adimensionnalisé.

 

Enfin, le coefficient d'échange thermique s'écrit:  $h=\frac{\lambda_l}{t} 0,0776 t^{0,9}{Pr_l^{0,52}}t$  avec  $t^{+}=\frac{t}{y^{*}}$.

 

Les résultats de ce modèle sont comparés à ceux fournis par le modèle annulaire sans arrachage et aux données expérimentales de l'IMFT afin de déterminer lequel est le plus adapté au problème.

Modèles hydrauliques

MODÈLES HYDRAULIQUES

Dans cette partie, l'écoulement est supposé annulaire sans arrachage. Les frottements interfaciaux τi sont modélisés grâce au modèle de Wallis tandis que les frottements pariétaux τp avec les modèles de Lockhart & Martinelli, de Baroczy et d'Awad. En ce qui concerne les pertes de charge singulières dans les coudes, un modèle issu d'expériences en laboratoire a été implémenté dans le programme.

Il faut toutefois rester vigilant à l'évolution du titre massique :

  • Lorsque la valeur de x devient importante (proche de 1), l'écoulement est alors considéré comme monophasique et il faut basculer vers des modèles monophasiques en transferts de chaleur et en hydraulique.

  • Inversement lorsque le titre x devient faible, les vitesses moyennes du liquide et du gaz sont du même ordre de grandeur Ul ~Ug, et le modèle homogène doit être appliqué. Ce modèle n'est cité qu'à titre informatif, car dans le cas présent, le titre est supérieur ou égale 0,3 ; il n'est pas question de l'utiliser.

 

Modèle Annulaire sans arrachage

Lorsque le taux de vide est important, la phase gazeuse occupe le centre du tube tandis que la phase liquide se trouve sous la forme d'un film le long de la paroi du tube, c'est ce que l'on appelle un écoulement annulaire. En fonction des conditions imposées, il se peut également qu'une partie non négligeable du liquide se trouve sous forme de gouttelettes en suspension dans le cœur de vapeur ; l'écoulement est alors dit annulaire dispersé. Il s'agit du modèle annulaire avec arrachage qui est traité plus loin (paragraphe 5).

La connaissance de l’épaisseur de film, notée t, est importante pour l’estimation des transferts thermiques. Cette épaisseur du film diminue au fur et à mesure que la vitesse superficielle de la vapeur augmente.

Les équations qui régissent ce modèle s'écrivent comme suit :

$\frac{dR_g}{dz}G^2(\frac{R_l x^2}{\rho_g R_g ^2}+\frac{R_g (1-x)^2}{\rho_l R_l ^2}) = -\frac{\tau_{ig}4}{D}\sqrt{R_g}+R_g \frac{\tau_p 4}{D}-(\rho_l - \rho_g) R_g R_l g + G^2 \frac{dx}{dz}(\frac{2xR_l}{\rho_g R_g} + \frac{(1-x)(2 R_g -1)}{\rho_l R_l})$ [1]

 

$\frac{dp}{dz} = \frac{-d}{dz}(\frac{G^2 x^2}{\rho_g R_g})-\frac{d}{dz}(\frac{G^2 (1-x)^2}{\rho_l R_l}) + \frac{\tau_p 4}{D} - (\rho_l R_l + \rho_g R_g) g$ [2]

 

$\frac{dx}{dz} = \frac{4q}{G D h_lv}$ [3]

 

$t = \frac{D}{2}(1-\sqrt{R_g})$

L’équation [1] est obtenue en éliminant le gradient de pression entre les équations de quantité de mouvement pour le liquide et la vapeur. L’équation [2] est l’équation de quantité d emouvement pour le mélange et l’équation [3], le bilan d’enthalpie.

Le taux de vide, les pertes de charge et le titre sont ainsi déterminés le long de l'évaporateur, pour chaque pas ∆z.

NB : Ces équations sont utilisées lorsque le fluide réfrigérant est au niveau d’un composant. Lorsque ce n’est pas le cas, l’écoulement est adiabatique et il n'y aucun changement de phase. Le taux de vide Rg et le titre massique x sont constants et les termes faisant intervenir les dérivées de x et Rg sont nuls dans les équations [1] et [2].

 

Frottement interfacial

Le Modèle de Wallis [2] permet de modéliser les frottements interfaciaux τi entre la phase liquide et la phase gazeuse. Il est défini comme suit: $\tau_i = -\frac{1}{2} f_i \rho_g |U_g - U_l|(U_g -U_l)$ avec  $f_i = 0.005 (1+300 \frac{\delta}{D}) = 0.005 [1 + 150(1-\sqrt{R_g})]$.

Les vitesses du gaz Ug et du liquide Ul sont déterminées à partir des vitesses superficielles Jg et Jl calculées à chaque pas spatial de la façon :

$U_g = \frac{J_g}{R_g}$,  $U_l = \frac{J_l}{R_l}$ , avec  $R_g + R_l = 1$   et  $J_g = \frac{G x}{\rho_g}$ , $J_l = \frac{G (1-x)}{\rho_l}$.

Frottement pariétal

Plusieurs modélisations des frottements pariétaux sont envisageables:

Modèle de Lockhart & Martinelli

Le modèle de Lockhart et Martinelli [2] permet de déterminer le frottement pariétal τp. Ce modèle est l'un des plus vieux et des plus utilisés pour calculer les pertes de charges diphasiques par frottement. Cette corrélation a été établie pour des écoulements adiabatiques en tube de section cylindrique. Il utilise le paramètre de Martinelli χ, qui compare la dissipation des deux phases.

Étape 1 : On calcule les pertes de charge dans la phase liquide et la phase gazeuse telles que :

$(\frac{dp}{dz})_l = -\frac{S_p}{A}f_{pl}\frac{\rho_l J_l ^2}{2}$ , $(\frac{dp}{dz})_g = -\frac{S_p}{A}f_{pg}\frac{\rho_g J_g ^2}{2}$.

Les coefficients de frottement pariétal sont définis de la manière suivante :

$f_{pl} = K(\frac{J_l D}{\nu_l})^{-n}$ , $f_{pg} = K(\frac{J_g D}{\nu_g})^{-n}$

Avec :

  • n = 1 et K=16 en écoulement laminaire ;

  • n = ¼ et K=0.079 en écoulement turbulent.

Les nombres de Reynolds sont basés sur les vitesses superficielles : $Re_l = \frac{J_l D}{\nu_l}$ , $Re_g = \frac{J_g D}{\nu_g}$.

Étape 2 : On calcule le paramètre de Martinelli χ, tel que:

$X = \sqrt{\frac{(dp/dz)_l}{(dp/dz)_g}} = \frac{J_l}{J_g}\sqrt{\frac{\rho_l f_pl}{\rho_g f_pg}}$

Étape 3 : On calcule les coefficients multiplicatifs φl et φg tels que :

$\varphi_l ^2 = (1+\frac{C}{X}+\frac{1}{X^2})$ , $\varphi_g ^2 = (1+ CX+X^2)$.

 

Le paramètre C étant fonction du régime d'écoulement :

Paramètre de Lockhart & Martinelli.
Liquide Gaz C
Turbulent Turbulent 20
Laminaire Turbulent 12
Turbulent Laminaire 10
Laminaire Laminaire 5

Le régime laminaire est défini pour un Reynolds inférieur à 2000 et le régime turbulent pour un Reynolds supérieur à 3000. Dans la zone de transition, il n'y a donc pas de corrélation. Dans les simulations, le changement de régime occasionne des discontinuités dans l'expression de la contrainte de frottement diphasique. Le problème a été résolu en utilisant le lissage proposé par Erik de Malmazet, post-doctorant ayant travaillé sur le sujet à l'IMFT. Cette interpolation linéaire de C est une fonction de log(Rel) et/ou log(Reg). Lorsqu'une seule des deux phases est dans la zone de transition (cas le plus fréquemment rencontré), l'interpolation linéaire de C est de type C(Rel)=a*log(Rel)+b ou C(Reg)=a'*log(Reg)+b'.

A titre d'exemple, dans le cas où le gaz est en régime turbulent et le liquide en régime de transition, la corrélation utilisée est :

$C(Re_l)= \frac{20-12}{log (3000)-log(2000)}*(log( Re_l)-log(2000))+12$

Dans le cas où les deux phases sont en zone de transition, on utilise deux interpolations linéaires de C du type C(Rel, Reg)=a*log(Rel)+b*log(Reg)+c, une pour le cas Rel>Reg et l'autre pour le cas Rel<Reg.

Étape 4 : On peut alors calculer les pertes de charge par frottement :

$\left ( \frac{dp}{dz} \right )_{fr}=\frac{\tau_p S_p}{A}={\varphi_l}^2 \left ( \frac{dp}{dz} \right )_{l}={\varphi_g}^2 \left ( \frac{dp}{dz} \right )_{g}$.

Modèle de Baroczy

La corrélation de Baroczy [3] consiste à exprimer les pertes de charge par frottement diphasique en fonction des pertes de charge par frottement (dP/dz)l que l’on aurait si la phase liquide s’écoulait seule avec le même débit masse qu'en écoulement diphasique. Pour cela, il faut pouvoir exprimer le coefficient multiplicatif  défini de la manière suivante :

${\varphi_{l0}}^2=\frac{\left ({dp}/{dz} \right )_{fr}}{\left ( {dp}/{dz} \right )_l}$

Pour cela, on utilise aussi les pertes de charge par frottement (dP/dz)g que l’on aurait si la phase vapeur s’écoulait seule avec le même débit de masse que l’écoulement diphasique et on introduit la variable Y définie de la manière suivante :

$Y^2=\frac{\left ({dp}/{dz} \right )_g}{\left ( {dp}/{dz} \right )_l}= \frac{1}{X^2}$

Les pertes de charge (dP/dz)l et (dP/dz)g sont définies de la même manière que dans le modèle de Lockhart et Martinelli.

Les deux phases s’écoulant seules, avec le même débit masse qu'en écoulement diphasique, auraient respectivement les vitesses moyennes  $V_l=G/\rho_l$ et $V_g=G/\rho_g$, à partir desquelles on peut définir les nombres de Reynolds  $Re_{V l}$ et $Re_{V g}$ . On a alors :

$Y^2=\frac{\rho_g}{\rho_l} \frac{f_{pg}}{f_{pl}}\frac{{J_{g}}^2}{{J_{l}}^2}$

Baroczy donne une expression de ${\varphi_{l0}}$ à partir de nombreux points expérimentaux pour différents fluides. La corrélation qu’il obtient est graphique mais ses courbes ont par la suite été corrélées par Chisholm en 1973, qui a obtenu l’expression suivante :

${\varphi_{l0}}^2=1+(Y^2-1) [B x^{\frac{2-n}{2}} (1-x)^{\frac{2-n}{2}}+x^{2-n}]$

n est l’opposé de l’exposant de  que l’on a dans f($Re_{V l}$), soit :

  • n = 1 si l’écoulement liquide seul est laminaire ( $Re_{V l}$< 2000)

  • n = 0.25 s’il est turbulent ( $Re_{V l}$> 2000).

B est une variable dépendant de Y et de G dont l’expression varie en fonction de la valeur de Y :

Paramètre de Baroczy.
Valeur de Y $0<Y<9,5$ $9,5 <Y<28$ $28<Y$
Valeur de B $\frac{55}{G^{1/2}}$ $\frac{520}{YG^{1/2}}$ $\frac{15000}{Y^2 G^{1/2}}$

Finalement, on peut calculer les pertes de charge par frottement :

$\left ( \frac{dp}{dz} \right )_{fr}= {\varphi_{l0}}^2 \left ( \frac{dp}{dz} \right )_{l}$

Modèle d'Awad

Le modèle d'Awad [4] est un autre modèle empirique qui permet de déterminer le frottement pariétal. On calcule le nombre de Reynolds de chaque phase tel que :

$Re_l=\frac{J_l D}{\nu_l} $ et $Re_g=\frac{J_g D}{\nu_g} $

Les coefficients de frottement pariétal liquide fpl et gazeux fpg sont définis de la même manière que dans le modèle de Lockhart et Martinelli.

On calcule alors le paramètre X, de la même façon que le paramètre de Martinelli :

$X=\frac{J_l}{J_g} \sqrt{\frac{\rho_l f_{pl}}{\rho_g F_{pg}}}$

Les définitions de $\varphi_l$ et $\varphi_g$ changent :

${\varphi_l}^2=\left ( 1+ \left (  \frac{1}{X^2} \right )^p \right )^{1/p}$  et  ${\varphi_l}^2=\left ( 1+ \left (  \frac{1}{X^2}\right )^p \right )^{1/p}$

 

La valeur du paramètre p est difficile à déterminer. Elle varie en fonction des cas et généralement, elle est choisie comme le minimum de l’erreur RMS. Pour assurer des conditions de robustesse, p = 2/7. On peut alors calculer le gradient de pression liquide et gazeux.

$\left ( \frac{dp}{dz} \right )_{l}=-\frac{S_p}{A}f_{pl}\frac{\rho_l {J_l}^2}{2}$ et  $\left ( \frac{dp}{dz} \right )_{d}=-\frac{S_p}{A}f_{pg}\frac{\rho_g {J_g}^2}{2}$

Le gradient de pression par frottement s'écrit alors :

$\left ( \frac{dp}{dz} \right )_{fr}=\frac{\tau_p S_p}{A}={\varphi_l}^2 \left ( \frac{dp}{dz} \right )_{l}={\varphi_g}^2 \left ( \frac{dp}{dz} \right )_{g}$

Finalement, le modèle d’Awad reprend les mêmes équations que le modèle de Lockhart et Martinelli. Les seuls paramètres qui changent sont les facteurs diphasiques $\varphi_l$ et $\varphi_g$.

 

Modèle Monophasique

Lorsque le titre de vapeur x atteint l'unité, c'est le modèle monophasique qui est utilisé. Le cahier des charges imposant en sortie un titre massique x proche de 1, il est normal de s'intéresser au cas d'un modèle à un fluide pour calculer les pertes de charge.

$\frac{dp}{dz}=\frac{4 \tau_p}{D}$ avec $\tau_p =-0,5f_c \rho_g {U_g}^2$.

Le coefficient de frottement pariétal fc dépend du régime d'écoulement dans lequel on se situe :$\left\{\begin{array}{l l} f_{c} = 16/Re_g & \quad \text{si $Re_g < 2000$}\\f_{c} = 0,079 Re_g ^{0,25} & \quad \text{si $Re_g > 2000$}\end{array} \right.$   

 

Perte de charge dans les coudes

La littérature [5] renseigne un modèle empirique pour les pertes de charge :

$\Delta p_{rb}= \Phi \Delta p_{sp}$

$\Delta p_{rb}$ est la perte de charge totale à travers un coude pour un écoulement diphasique et

$\Delta p_{sp}$ défini la perte de charge totale à travers un coude en écoulement monophasique. Elle s'écrit : $\Delta p_{sp}=K_{sp} \frac{G^2}{2 \rho_l}$.

Ksp est le coefficient de perte de charge local pour un écoulement monophasique liquide. Pour estimer sa valeur [Idelcik 1986] suggère l'expression suivante :

$K_{sp}=f_{pl} \frac{L}{D}+0,294 \left ( \frac{R}{D} \right )^{0,5}$

où R est le rayon de courbure et fpl le coefficient de frottement pariétal calculé par les modèles explicités précédemment.

Le coefficient multiplicateur pour l’écoulement diphasique ϕ est donné par : $\Phi=1+ \left ( \frac{\rho_l}{\rho_g} -1 \right ) x [b(1-x)+x]$ avec $b=1+ \frac{2,2}{K_{sp}(2+ \frac{R}{D})}$.

Modèles thermiques

 

MODÈLES THERMIQUES

Du point de vue thermique, il s'agit de modéliser les transferts de chaleur. Le type de corrélation utilisé dépend tout d'abord du régime d'ébullition, lié au taux de vide et plus généralement aux conditions d'entrée.

Pour le régime d'ébullition saturée, le liquide en entrée est à la température de saturation et son taux de vide n'est pas nul. On observe une forte évolution longitudinale de l'écoulement, ce dernier pouvant être à bulles, poches bouchons et annulaire. Mais on ne s’intéresse qu'au régime annulaire.

L'ensemble des flux dégagés par les composants électroniques est connu au sein de la géométrie ; ils sont tous constants. Cette chaleur est dissipée grâce à la vaporisation du fluide circulant dans l'évaporateur. L'objectif est de déterminer la température des différents composants.

En régime d'ébullition nucléée saturée, on suppose que le fluide dans l'évaporateur est à sa température de saturation Tl= TSAT , et que l'intégralité du flux thermique sert à vaporiser le fluide réfrigérant. De plus, on suppose que les phases vapeur et liquide sont en équilibre thermodynamique lorsque un changement d'état se produit au niveau du fluide. On peut alors accéder à l'évolution du titre massique le long de l'évaporateur :

$\frac{dx}{dz}= \frac{qS_p}{AGh_{lg}D}$

Pour chaque pas d'espace Δz, on peut ainsi calculer le titre massique x puis en déduire le coefficient d'échange thermique le long du tube. Le coefficient d'échange thermique est déterminé d'après les corrélations de Kandlikar, de Gunger & Winterton, de Schrock & Grossman et de Chen ; toutes décrites ci-dessous.

Calcul du coefficient d'échange thermique h

Notations et définitions

On introduit les grandeurs suivantes :

  • le nombre d'ébullition : $Bo=\frac{q}{Gh_{lg}}$
  • le nombre de Froude : $Fr=\frac{G^2}{{\rho_l}^2gD}$

  • le coefficient de transfert thermique de la phase liquide déterminé à partir de la corrélation de Dittus Boetler (1930) pour des écoulements turbulents: $h_l=0,023 \frac{\lambda_l}{D}{Re_l}^{0,8}Pr^{1/3}$

  • le Reynolds liquide basé sur le flux de masse et le taux de vide : $Re_l= \frac{G(1-x)D}{\mu_l}$

  • le Prandtl liquide : $Pr=\frac{\mu_l C_{pl}}{\lambda_l}$

  • le paramètre de Martinelli :  $X_{tt}= \frac{1-x}{x}  \sqrt{  \frac{\rho_g f_{pl}}{\rho_l f_{pg}} }$  et

 

Corrélations de Kandlikar

La corrélation de Kandlikar [2] exprime le coefficient d'échange thermique comme suit :

$h=h_l \left [ C_1 {C_0}^{C_2} (25Fr)^{C_5}+C_3 Bo^{C_4}F_k \right ]$

Pour déterminer les différentes constantes de l'équation, il est nécessaire de s'intéresser à l'écoulement dans la phase liquide. Pour cela, il faut calculer le nombre d'ébullition Bo, le nombre de Froude Fr et la constante C0 définie telle que   $C_0= \left ( \frac{1-x}{x} \right )^{0,8} \sqrt{\frac{\rho_g}{\rho_l}}$.

Les valeurs des constantes Ci sont déduites de C0 :

Paramètre de Kandlikar
  C0<0,65 C0>0,65
C1 1,1360 0,6683
C2 -0,9 -0,2
C3 667,2 1058
C4 0,7 0,7
C5 0,3 0,3

C5=0 pour les tubes verticaux et les tubes horizontaux quand Fr>0.04. Pour le fluide R245FA, Fk = 1,4.

 

Corrélation de Gunger & Winterton

Selon le modèle de Gunger et Winterton [2] $h=h_l \left [ 1+3000Bo^{0,86}+ \left ( \frac{x}{1-x} \right )^{3/4} \left ( \frac{\rho_l}{\rho_g} \right )^{0,41} \right ]$

 

Corrélation de Schrock & Grossman

Selon le modèle de Schrock et Grossman [2] $h=7,39.10^3 h_l \left [ Bo+0,00015 \left ( \frac{1}{X_{tt}} \right )^{0,66} \right ]$

 

Corrélation de Chen

Chen [2] a proposé la première corrélation pour de l'évaporation en tube vertical pour une large gamme de validité. Il a considéré le coefficient de transfert thermique de l'écoulement diphasique h comme la somme du coefficient de transfert thermique lié au phénomène de nucléation et au phénomène de convection.

Dans son modèle, il a supposé que le gradient de température imposé par les conditions de convection forcée supprimait une partie des sites de nucléation, réduisant ainsi le coefficient de transfert thermique associé à ce phénomène. Plus le titre augmente, plus la turbulence se développe favorisant ainsi les transferts de chaleur.

Le coefficient de transfert thermique peut ainsi être modélisé de la sorte : $h=Sh_n+Fh_l$ avec :

  • hn le coefficient de transfert thermique associé au phénomène de nucléation. On utilise pour cela la corrélation d'ébullition en cuve de Forster et Zuber (1955) :

    $h_n=0,00122 \left [ \frac{{k_l}^{0,79}{C_{pl}}^{0,45}{\rho_l}^{0,49}}{{\sigma}^{0,5}{h_{lg}}^{0,24}{\mu_l}^{0,29}{\rho_g}^{0,24}} \right ] (T_p-T_{sat})^{0,24}( P_{sat}(T_p)-P_l)^{0,75} $

  • S le facteur de suppression des sites de nucléation : $S=\frac{1}{1+2,53.10^{-6}(Re_lF(X_{tt})^{1,25})^{1,17}}$

  • F le coefficient multiplicateur qui représente l'augmentation du coefficient de transfert thermique par rapport à un écoulement monophasique : $F(X_{tt})=2,35 \left [ 0,213+ \frac{1}{X_{tt}} \right ]^{0,736}$  pour  ${X_{tt}}^{-1}> 0,1 $, sinon $F(X_{tt})=1$.

 

Modèle monophasique (x=1)

Lorsque le titre x tend vers un, l'écoulement est considéré comme monophasique vapeur. Le bilan thermique local s'écrit alors:GC_{pg} \frac{dT_g}{dz}=q \frac{S_p}{A}$. Tl correspondant à la température du liquide.

Pour un flux imposé: $T_g(z)-T_{ge}= \frac{q S_p}{AGC_{pg}}(z-z_e)$ et  $T_p(z)-T_{g}(z)= \frac{q}{h_g}$.

Le coefficient d'échange thermique est donné par : $h_g=0,023 \frac{\lambda_g}{D} [ \ \left (\frac{GD}{\mu_g} \right ) \ ] ^{0,8} Pr^{1/3}$

Calcul des températures

Maintenant que l'évolution du coefficient de transfert thermique est connue le long de l'évaporateur, la température en paroi et celle des différents composants peuvent être déterminées. Une schématisation simplifiée des résistances thermiques permet de relier ces deux températures. Les tubes cylindriques sont attachés à des ailettes. Ces ailettes sont-elles-mêmes en contact avec les composants en question. Les composants électroniques sont imités par des résistances qui dissipent de l'énergie de manière homogène. Les différentes résistances prises en compte sont les suivantes :

  • Une résistance de convection au niveau de l'échange fluide / paroi, déterminée par des modèles de coefficient d'échange thermique.

  • Une résistance de conduction entre la paroi des tubes et les ailettes, calculée en fonction du coefficient h et de l'ordre de 2.10-4 K.m2/W.

  • Une résistance de contact entre la semelle de l'évaporateur et l'imitateur qui vaut 2.10-4 K.m2/W.

La figure ci-dessous représente le circuit de résistances associé au problème. Certains composants sont parcourus plusieurs fois par les tubes (n*3 tubes), dans ce cas, le sens de l'écoulement n'est pas le même: la gravité change de signe.

Par une analogie électrique, les températures de la paroi, des ailettes et des composants peuvent être déterminées à partir de celle du fluide.

La méthode est la suivante:

$T_p=T_{sat}+ \frac{q}{h}$ en diphasique; ou  $T_p=T_{sat}+ \frac{q S_p}{AGC_{pg} }\Delta z +\frac{q}{h_g} $ en monophasique;

$T_{ailette}=T_p + \frac{3 \pi n_{passages} DR_{cond}Q}{Ll^2}$

$T_{composant}=T_{ailette}+R_{contact} \frac{Q}{Ll}$

où  q est le flux de chaleur surfacique échangé à la paroi en W/m²,

Q est la puissance dissipée par l'élément en W,

l la largeur de l'ailette en m,

L la longueur du composant en m et

nPASSAGE le nombre de passages du tube.

 

Modèle de A. Cioncolini

L'ensemble des corrélations présentées jusqu'ici constitue la théorie pour un écoulement annulaire sans arrachage. Autrement dit, la phase gazeuse occupe le centre du tube tandis que la phase liquide se trouve sous la forme d'un film le long de la paroi. Dans le modèle de A. Cioncolini qui est présenté ci-dessous, il est fait l’hypothèse qu'une partie du liquide en paroi est arrachée sous forme de gouttelettes.

 

MODELE DE A. CIONCOLINI

Il s'agit d'un modèle annulaire avec arrachage [6]. Il est applicable aux écoulements annulaires et prédit l'évolution des valeurs du coefficient d'échange thermique , des pertes de charges, du taux d’entraînement, de l'épaisseur du film liquide et du taux de vide.

Le taux d'entraînement, noté e, est calculé comme une fonction du nombre de Weber associé à l'écoulement gazeux au cœur de la conduite : $e=(1+279,6{We_c}^{-0,8395)^{-2,209}} $ pour 10¹<WeC<10⁵. Avec $We_c = \frac{\rho_C {J_g}^2 d}{\sigma}$ où Jg est la vitesse superficielle du gaz Ug et $\rho_c$ la masse volumique du coeur définie comme $\rho_C = \frac{x+e(1-x)}{x/\rho_g +e(1-x)/\rho_l}$. [7]

 

Le taux de vide Rg lui est défini comme suit: $R_g =\frac{Kx^n}{1+(K-1)x^n}$ avec $\left\{\begin{array}{l l} K=a+(1-a)(\rho_g / \rho_l)^{\alpha} \\n=b+(1-b)(\rho_g /\rho_l)^{\beta} \end{array} \right.$ [8].

 

Le gradient de pression totale, c'est à dire qui fait intervenir l'accélération, la gravité et le frottement s'écrit:

$\frac{dp}{dz}= \frac{4 \tau_p}{D} - G^2\frac{d}{dz} \left [ \frac{x^2}{\rho_g R_g} \frac{e^2(1-x)^2}{\rho_l \gamma (1-R_g)} + \frac{(1-e)^2(1-x)^2}{\rho_l (1- \gamma) (1-R_g)} \right] - [\rho_l (1-R_g)+\rho_g R_g]g$

 

Le frottement pariétal  $\tau_p$  s'écrit : $\tau_p= \frac{1}{2} f_{tp} \rho_C V_C^2$ . Où le coefficient de frottement est déterminé par la corrélation de Fanning $f_{pl}=0,172 {We_c}^{-0,372}$ pour WeC>100.

Avec dC le diamètre interne du coeur:  $d_C=D \sqrt{R_g \frac{x \rho_l +e(1-x) \rho_g}{x \rho_l}}$ .

VC est la vitesse du coeur diphasique:  $V_C=\frac{4}{\pi} \frac{\left[ x+e(1-x) \right] \dot {m} }{\rho_C d_C^2}$ [9].

 

L'épaisseur du film liquide t est quant à elle définie comme   $t=y^{*} max \left(\sqrt{\frac{2 \Gamma_{lf}^{+}}{R^{+}}} ; 0,066 \frac{\Gamma_{lf}^{+}}{R^{+}} \right)$ [10].

Où $y^{*}=\frac{\mu_l}{\rho_l V^{"*"}}$ est l'échelle de longueur;

      $V^{*}=\sqrt{\frac{\tau_p}{\rho_l}}$ est l'échelle de vitesse;

      $\Gamma_{lf}^{+}=\frac{(1-e)(1-x) \dot {m}}{2 \pi \rho_l V^{*}{y^{*}}^2}$ est le débit dans le film liquide adimensionnalisé;

      $R^{+}=\frac{R}{y^{*}}$ es le rayon du tube adimensionnalisé.

 

Enfin, le coefficient d'échange thermique s'écrit:  $h=\frac{\lambda_l}{t} 0,0776 t^{0,9}{Pr_l^{0,52}}t$  avec  $t^{+}=\frac{t}{y^{*}}$.

 

Les résultats de ce modèle sont comparés à ceux fournis par le modèle annulaire sans arrachage et aux données expérimentales de l'IMFT afin de déterminer lequel est le plus adapté au problème.