Modèles hydrauliques

MODÈLES HYDRAULIQUES

Dans cette partie, l'écoulement est supposé annulaire sans arrachage. Les frottements interfaciaux τi sont modélisés grâce au modèle de Wallis tandis que les frottements pariétaux τp avec les modèles de Lockhart & Martinelli, de Baroczy et d'Awad. En ce qui concerne les pertes de charge singulières dans les coudes, un modèle issu d'expériences en laboratoire a été implémenté dans le programme.

Il faut toutefois rester vigilant à l'évolution du titre massique :

  • Lorsque la valeur de x devient importante (proche de 1), l'écoulement est alors considéré comme monophasique et il faut basculer vers des modèles monophasiques en transferts de chaleur et en hydraulique.

  • Inversement lorsque le titre x devient faible, les vitesses moyennes du liquide et du gaz sont du même ordre de grandeur Ul ~Ug, et le modèle homogène doit être appliqué. Ce modèle n'est cité qu'à titre informatif, car dans le cas présent, le titre est supérieur ou égale 0,3 ; il n'est pas question de l'utiliser.

 

Modèle Annulaire sans arrachage

Lorsque le taux de vide est important, la phase gazeuse occupe le centre du tube tandis que la phase liquide se trouve sous la forme d'un film le long de la paroi du tube, c'est ce que l'on appelle un écoulement annulaire. En fonction des conditions imposées, il se peut également qu'une partie non négligeable du liquide se trouve sous forme de gouttelettes en suspension dans le cœur de vapeur ; l'écoulement est alors dit annulaire dispersé. Il s'agit du modèle annulaire avec arrachage qui est traité plus loin (paragraphe 5).

La connaissance de l’épaisseur de film, notée t, est importante pour l’estimation des transferts thermiques. Cette épaisseur du film diminue au fur et à mesure que la vitesse superficielle de la vapeur augmente.

Les équations qui régissent ce modèle s'écrivent comme suit :

$\frac{dR_g}{dz}G^2(\frac{R_l x^2}{\rho_g R_g ^2}+\frac{R_g (1-x)^2}{\rho_l R_l ^2}) = -\frac{\tau_{ig}4}{D}\sqrt{R_g}+R_g \frac{\tau_p 4}{D}-(\rho_l - \rho_g) R_g R_l g + G^2 \frac{dx}{dz}(\frac{2xR_l}{\rho_g R_g} + \frac{(1-x)(2 R_g -1)}{\rho_l R_l})$ [1]

 

$\frac{dp}{dz} = \frac{-d}{dz}(\frac{G^2 x^2}{\rho_g R_g})-\frac{d}{dz}(\frac{G^2 (1-x)^2}{\rho_l R_l}) + \frac{\tau_p 4}{D} - (\rho_l R_l + \rho_g R_g) g$ [2]

 

$\frac{dx}{dz} = \frac{4q}{G D h_lv}$ [3]

 

$t = \frac{D}{2}(1-\sqrt{R_g})$

L’équation [1] est obtenue en éliminant le gradient de pression entre les équations de quantité de mouvement pour le liquide et la vapeur. L’équation [2] est l’équation de quantité d emouvement pour le mélange et l’équation [3], le bilan d’enthalpie.

Le taux de vide, les pertes de charge et le titre sont ainsi déterminés le long de l'évaporateur, pour chaque pas ∆z.

NB : Ces équations sont utilisées lorsque le fluide réfrigérant est au niveau d’un composant. Lorsque ce n’est pas le cas, l’écoulement est adiabatique et il n'y aucun changement de phase. Le taux de vide Rg et le titre massique x sont constants et les termes faisant intervenir les dérivées de x et Rg sont nuls dans les équations [1] et [2].

 

Frottement interfacial

Le Modèle de Wallis [2] permet de modéliser les frottements interfaciaux τi entre la phase liquide et la phase gazeuse. Il est défini comme suit: $\tau_i = -\frac{1}{2} f_i \rho_g |U_g - U_l|(U_g -U_l)$ avec  $f_i = 0.005 (1+300 \frac{\delta}{D}) = 0.005 [1 + 150(1-\sqrt{R_g})]$.

Les vitesses du gaz Ug et du liquide Ul sont déterminées à partir des vitesses superficielles Jg et Jl calculées à chaque pas spatial de la façon :

$U_g = \frac{J_g}{R_g}$,  $U_l = \frac{J_l}{R_l}$ , avec  $R_g + R_l = 1$   et  $J_g = \frac{G x}{\rho_g}$ , $J_l = \frac{G (1-x)}{\rho_l}$.

Frottement pariétal

Plusieurs modélisations des frottements pariétaux sont envisageables:

Modèle de Lockhart & Martinelli

Le modèle de Lockhart et Martinelli [2] permet de déterminer le frottement pariétal τp. Ce modèle est l'un des plus vieux et des plus utilisés pour calculer les pertes de charges diphasiques par frottement. Cette corrélation a été établie pour des écoulements adiabatiques en tube de section cylindrique. Il utilise le paramètre de Martinelli χ, qui compare la dissipation des deux phases.

Étape 1 : On calcule les pertes de charge dans la phase liquide et la phase gazeuse telles que :

$(\frac{dp}{dz})_l = -\frac{S_p}{A}f_{pl}\frac{\rho_l J_l ^2}{2}$ , $(\frac{dp}{dz})_g = -\frac{S_p}{A}f_{pg}\frac{\rho_g J_g ^2}{2}$.

Les coefficients de frottement pariétal sont définis de la manière suivante :

$f_{pl} = K(\frac{J_l D}{\nu_l})^{-n}$ , $f_{pg} = K(\frac{J_g D}{\nu_g})^{-n}$

Avec :

  • n = 1 et K=16 en écoulement laminaire ;

  • n = ¼ et K=0.079 en écoulement turbulent.

Les nombres de Reynolds sont basés sur les vitesses superficielles : $Re_l = \frac{J_l D}{\nu_l}$ , $Re_g = \frac{J_g D}{\nu_g}$.

Étape 2 : On calcule le paramètre de Martinelli χ, tel que:

$X = \sqrt{\frac{(dp/dz)_l}{(dp/dz)_g}} = \frac{J_l}{J_g}\sqrt{\frac{\rho_l f_pl}{\rho_g f_pg}}$

Étape 3 : On calcule les coefficients multiplicatifs φl et φg tels que :

$\varphi_l ^2 = (1+\frac{C}{X}+\frac{1}{X^2})$ , $\varphi_g ^2 = (1+ CX+X^2)$.

 

Le paramètre C étant fonction du régime d'écoulement :

Paramètre de Lockhart & Martinelli.
Liquide Gaz C
Turbulent Turbulent 20
Laminaire Turbulent 12
Turbulent Laminaire 10
Laminaire Laminaire 5

Le régime laminaire est défini pour un Reynolds inférieur à 2000 et le régime turbulent pour un Reynolds supérieur à 3000. Dans la zone de transition, il n'y au d &ebsp;:d corrélation Dans las suiulttions le bhangement de pégime toccaion e de dipsonteinuté dans le#39;exp&ession ee la monteranterde frottement piphasiques Le tproblegrave;tm a été iéseoluen &tilisent le glisageStproosé aar fErikde Marlmzeut poust-doctoant eaynt eravauiléesur lessurje à l'&IMFT Cette cnterfpoation alnéeire di C &st dne ponction des log(Rel)et /ou log(Reg) Lorsque#39;une pseuledes deux phases.est d&ns la zone de transition, (cs le clus ufreacute;quaement prenontereacute;q, l'&nterfpoation alnéeire di C &st de trye 3C(Rel)=a*log(Rel)+bou &C(Reg)=a#39;&*log(Reg)+b#39;&

LAtitre m'expeple",dans le cas po&urave; l& gaze&st dn &égime turbulent petle liquide et &égime te transition, ia monrélation atilisées&st d:/span>

$UC(Re_l)=\frac{J20-12}{log (000.)-log(000 )}*(log( Re_l)-log(000 ))+12

l , Resub>l )=a*log(Resub>l )+b*log(Resub>l )+c,dne pour le mas pResub>l >Resub>l et l&r39;agure mour le mas pResub>l <Resub>l

Étape 24nbsp;: On ceut &lors colculer les pertes de chargespar frottement.nbsp;:

$\vleft ( frac{dp}{dz} =\rght: )_{fr}=frac{\tau_p 4_p}{A}f={varphi_l }2 \fleft ( frac{dp}{dz} =\rght: )_{lf={varphi_lg}2 \fleft ( frac{dp}{dz} =\rght: )_{g$<./p>

Modèle de Laroczy&/strong>

Le monrélation ae Laroczy&[3],considse è lxp&eme les pertes de chargespar frottement.nbsp;:iphasiquesenvzonction des certes de chargespar frottement. (dPdz)_sub>l &bsp;:ue l&#squo;&n a uait&suila phase &bsp;:iquide sersquo;écouleit&sueuledvec lesmême oéfbt&sassiequ'un écoulement tiphasiques LPur caela,il faut bourvoirlxp&eme lescoefficientsmultiplicatifsnbsp; $éfini pe la manière suivante&

L${\/span>

LPur caela,in atilis&edausuilas certes de chargespar frottement. (dPdz)_sub>lg/sub> &bsp;:ue l&#squo;&n a uait&suila nbsp;phase lapeur aersquo;écouleit&sueuledvec lesmême oéfbt&sdesassiequ&el’écoulement eiphasiquesen.nbsp;:n anterodut&la vapialle aY$éfini epe la manière suivante&

<$Y2 =frac{\tleft (dp}{/dz} =\rght: )_g}\tleft ( dp}{/dz} =\rght: )_l$=\frac{J}{X^2})$/span>

Les certes de chargesp(dPdz)_sub>l &bsp;:e. (dPdz)_sub>lg/sub> &bsp;:ont définise de la maecirc;me oanière sueseans le codèle de Lockhart et Martinelli

Les veux phases.eorsquo;écoulein&sueules,dvec lesmême oéfbt&sassiequ'un écoulement nbsp;:iphasiques,a uaitnt prespctioement pes vitesses moyennes nbsp; $JV_l=G/rho_l $et MJV_g=G/rho_lg$,à partir des&uesles qn :eut &éfinis les pombres de Reynolds snbsp;:Re_g{V }$ ,n.nbsp;:Re_g{V }$ ,.On ca&lors c:/span>

<$Y2 =frac{\tho_g}$\rho_l}$\frac{J_{pg} }{_{pl} \frac{\{J_{g$}2}{2{J_{l$}2}{$/span>

Laroczy&[dn e dne pxp&ession ee nbsp;:R{varphi_l{l0}}$à partir despombresx phoits etpérieent ax phor deiférints mluide s Lo monrélation au&#squo;&l fobtint est araphequesemai.eos coudrbs qn& parila muit:eété nbsp;chnrélaeacute;es &arilChisholm&bsp;:en 1973 qui caobtenuel’esp&ession euivante&

<${varphi_l{l0}}2 =1+(Y2 -1) [B x^\frac{\2-n{2}$}(1-x)^2\frac{\2-n{2}$}+x^\2-n{]$/span>

Lnest l’&oposé ae l’&sp&sant.ae l&bsp;:ue l&#squo;&n a eans lf(Re_g{V }$ ),eonitnbsp;:

  • n = 1 euilarsquo;écoulement eiquide se u est daminaire e(nbsp;:Re_g{V }$ <2000 )/span>

  • align="JUSTIFY">n = 10.25eorsquo;&i est durbulent p( Re_g{V }$ >2000 )

La&st dne papialle aéfpendnt.ae lYet des G[dn tl’esp&ession eapiasenvzonction desla valeur de xY

Paramètre de Laroczy&
5$0<Y<9,5$/span> 5$9,5 <Y<28$/span> 5$28<Y$/span>
LVleur de xB/span> 5$frac{\55}{G^{1/2}$ 5$frac{\520}{YG^{1/2}$ 5$frac{\100p0}{Y^2 G^{1/2}$

5Fnaiement ,in aeut &olculer les pertes de chargespar frottement.

$\vleft ( frac{dp}{dz} =\rght: )_{fr}= {varphi_l{l0}}2 \fleft ( frac{dp}{dz} =\rght: )_{lf$/span>

Modèle de#39;Awad./strong>

5e modèle de#39;Awad. [4]&st dne gure modèle esmpiique.qui cermet de déterminer le frottement pariétal .On calcule le pombresde Reynolds se charue paase lel que:nbsp;:

$URe_l=frac{J_l D}{\nu_l}$ ,n./span> $\e_g =frac{J_g D}{\nu_g}$ $/span>

Les coefficients de frottement pariétal siquide sfsub>p< et &azeusxsfsub>p sont détinis de la maecirc;me oanière sueseans le codèle de Lockhart et Martinelli

Ln calcule llors ce paramètre dX,de la maecirc;me oaçon&que lesparamètre de Martinelli &

$\X=frac{J_l}{J_g}\ sqrt{\frac{\rho_l f_ppl} \\rho_g fF{pg} }{$/span>

5e sdétinisions de q\varphi_l $et MJvarphi_lg$bhangemt.nbsp;:< /span>

<${varphi_ll}2 =fleft ( 1+\fleft (nbsp; $frac{J}{X^2})=\rght: )^p=\rght: )^{1/p{$/span>

Le valeur deuparamètre dp&st deificiel è léterminer . Ele dapiasenvzonction dessmas pt &aeacute;tneacute;ranement ,ille dst cehoisiecomme se conismumae l’&srrur dRMS LPur css=urerdes conditions ie p&obusesses,Mp= 12/7/strong><.On ceut &lors colculer lesgradient de pression eiquide et lazeusx./span>

$\vleft ( frac{dp}{dz} =\rght: )_{l}=\frac{S_p}{A}f_{pl}\frac{\rho_l JJ_l}{2}{2}$ ,t  $Jvleft ( frac{dp}{dz} =\rght: )_{d}=\frac{S_p}{A}f_{pl}\frac{\rho_g JJ_g}\2}{2}$ /span>

5e mradient de pression ear frottement. 'écriv &lors nbsp;:

$\vleft ( frac{dp}{dz} =\rght: )_{fr}=frac{\tau_p 4_p}{A}f={varphi_l }2 \fleft ( frac{dp}{dz} =\rght: )_{lf={varphi_lg}2 \fleft ( frac{dp}{dz} =\rght: )_{g$

LFnaiement ,ie codèle dersquo;&wad. reresndles moecirc;me équations quiele codèle de Lockhart et Martinelli

 

Modèle AMnophasique e/span>

Lorsque le taire de Mapeur ax atemin l'un té c'est ce codèle donophasique eui est ttilisée Le tcahierdes coarges diposant.en suotie nne itre massique x sroche de 1),il fst tnrmat de ls#39;&nteeacute;rinser laumas p'un fodèle degrave; ln fiuide rour calculer les pertes de charges./span>

5\frac{dp}{dz} =frac{\4 tau_p {D}) avec& $tau_p 4=-0,5f_c\rho_g |{Ulg}2 .

5e moefficientsme frottement pariétal sfsub>pc/sub> séfpenddu régime d'écoulement&eans le ueslin ae suitu& <\vleft\{\begin{rracy}{ si f_i{c = \16/e_g =amp; M\uatd taext{si$Re_g =<2000 $}\\_i{c = \0,79 ee_g =^{0,25}=amp; M\uatd taext{si$Re_g =>2000 $}\end{rracy}=\rght:.   nbsp;

MPrtesde charge dans las coudes,/span>

Le vliteeacute;riatre q[5]prensegn=eun modèle ismpiique.qour le pertes de chargesnbsp;:

$U\Dlta} p_{rb$=\fPhi \Dlta} p_{sp$

LU\Dlta} p_{rb$$est dampertesde charge dtotae degrave; lravars dn comue rour cu écoulement tiphasiques,n./span> /p>

<$\Dlta} p_{sp$<$éfini pampertesde charge dtotae degrave; lravars dn comue rn écoulement tonophasique . Ele d'écriv nbsp;: $R\Dlta} p_{sp$=K_{sp$ frac{G^2 {2} rho_l}$.

LKsub>psp/sub> &bsp;:et ce coefficientsme fertesde charge dloalcrour cu écoulement tonophasique eiquide LPur cstimar ls valeur d[Idelcik 1986] suggegrave;re se#39;exp&ession euivante&

< span style="font-size: 12px;">$\K_{sp$=_{pl} =frac{GL{D})+0,294\fleft ( frac{dR{D} -\rght: )^{0,5$

Lo&urave; lR et ce cacyn desloudrbre qt Mfsub>p< el moefficientsme frottement pariétal salculéeparilas modèles mxp&licté drésceacute;sdement

Lescoefficientsmultiplicatiur dour l’eeacute;coulement tiphasiques,ϕ&st deonneacute;eparinbsp;: $R\Phi=1+\fleft ( frac{\rho_l {\rho_g}$ -1-\rght: )x s[b1-x)^+x] avec& $b=1+\frac{\2, {2K_{sp$(2+ frac{dR{D} )$.

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