Dans cette partie, nous présentons les équations analytiques qui permettent de décrire ce problème de couche limite turbulente.
Pour simplifier le problème, nous ferons les hypothèses les hypothèses suivantes :
$ \frac{\rho}{\rho_r} = 1 - \beta (T-T_r) $
Avec : $T_r$ : La température de référence, pour notre cas $T_r = 15°C $
$\rho_r$ : La masse volumique de référence.
Avec ces hypothèses, les équations de conservation en couche limite en convection naturelle sont :
L'équation de continuité :
$ \frac{\partial U} {\partial x} + \frac{\partial V} {\partial y} =0 $
L'équation de conservation de quantité de mouvement :
$ U \frac{\partial U} {\partial x} + V \frac{\partial U} {\partial y} = \frac{\partial }{\partial y} (\nu \frac{\partial U}{\partial y})+ g \beta (T-T_r) $
Quant à l'équation de l'énergie (ou de la température), puisqu'en convection naturelle, l'écoulement est à faible nombre de Mach (vitesses faibles associées à la convection naturelle), donc pas de terme de dissipation, par suite cette équation donne :
L'équation de l'énergie :
$ U \frac{\partial T} {\partial x} + V \frac{\partial T} {\partial y} = \frac{\partial }{\partial y} (\alpha \frac{\partial T}{\partial y}) $
On remarque bien que le terme de flottabilité couple le problème hydrodynamique et le problème thermique. Certes le modèle de Boussinesq complique le problème par rapport à celui du problème incompressible, mais c'est beaucoup plus simple que celui compressible.
Nous pouvons à ce stade, mener une étude dimensionnelle pour quantifier les paramètres adimensionnels qui contrôlent notre problème. En adimensionnalisant les équations précédentes, on voit bien l'apparition du fameux nombre de Grashof : $ Gr_L=\frac{\beta g L^3 (T_w-T_a)}{\alpha^2} $. Ce nombre qui compare l'effet des forces de flottabilité à celui des forces visqueuses, joue le même rôle que celui du nombre de Reynolds en convection forcée. Et donc pour comparer l'effet de la convection naturelle à celui de la convection forcée, il suffit de comparer le nombre de Grashof et la racine du Reynolds.
Modélisation de la turbulence :
Pour modéliser la turbulence, nous allons nous baser dans un premier temps sur la résolution RANS. Cette approche consiste à moyenner les équations précédentes (moyenne d'ensemble) en utilisant la décomposition de Reynolds.
Avec les mêmes hypothèses précédentes, on obtient :
L'équation de continuité :
$ \frac{\partial \mathbf{U}} {\partial x} + \frac{\partial \mathbf{V}} {\partial y} =0 $
L'équation de conservation de quantité de mouvement :
$ \mathbf{U} \frac{\partial \mathbf{U} } {\partial x} + \mathbf{V} \frac{\partial \mathbf{U}} {\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (\nu \frac{\partial \mathbf{U}}{\partial y} - \overline{u' v'})+ g \beta (\mathbf{T}-T_r) $
L'équation de l'énergie :
$ \mathbf{U} \frac{\partial \mathbf{T}} {\partial x} + \mathbf{V} \frac{\partial \mathbf{T}} {\partial y} = \frac{\partial }{\partial y} (\alpha \frac{\partial \mathbf{T}}{\partial y} - \overline{v' T'}) $
Les grandeurs en gras représentent des grandeurs moyennes, les termes en ' représentent les fluctuations.
Le long de ce projet, nous allons adopter l'approche RANS. Cependant, nous allons tester plusieurs modèles de turbulences : k-epsilon, k-epsilon RNG, RSM,...etc