Simulations 2D

Maillage 2D

Géométrie :

On modélise une hauteur de combusteur de 90 cm. Il n'est pas nécessaire de modéliser l'intégralité du combusteur puisque le lit fluidisé dense a une hauteur de 36,88 m : mailler plus de 2 fois cette hauteur permet de modéliser le lit ainsi que l'envolement des particules. 

Le diamètre du combusteur est de 12,50 cm et ses parois sont calorifugées afin d'obtenir un système adiabatique. Un convergent au niveau de l'extrémité supérieure du combusteur permet d'échapper les gaz de sortie.

La géométrie est la suivante :

Maillage :

Le logiciel Neptune_CFD prend en compte uniquement les géométries 3D. Il est donc impossible de réaliser un maillage 2D à proprement parler. Le mailleur xsimail permet de dépasser cette contrainte numérique en effectuant une élévation de maillage selon z afin d'obtenir un maillage 3D, compatible avec le logiciel Neptune_CFD. Nous avons  choisi d'élever le maillage d'une maille de 10 cm selon z. Cette opération requiert la création d'une condition limite de type "symétrie".

Le maillage 2D possède donc les dimensions suivantes :

  • 12,5 cm selon x
  • 80 cm selon y
  • 10 cm selon z

 

                                                                                  

                                     Maillage 2D                                                         Vue en perspective du maillage 2D

 

Le maillage possède 2574 mailles (22 fois moins que le maillage 3D). Les dimensions des mailles sont les suivantes :

  • 3.8 mm de large (il y a 33 mailles sur un diamètre)
  • 11 mm de haut (72 mailles sur la hauteur)
  • 0.10 m de profondeur (1 seule maille sur la profondeur)

Conditions aux limites :

 

Les parois sont des murs calorifugés.

La partie basse du combusteur est une entrée d'air et une sortie pour les particules solides - olivine et char -.

L'extremité supérieure du combusteur est une sortie pour le char le gaz et une paroi pour l'olivine.

 

 

Initialisation

Initialisation du lit d'olivine :

L'initialisation se fait dans le script unisiv.F.

Afin d'être en accord avec l'expérience, nous avons souhaité introduire une masse de 5,5 kg d'olivine. Sachant que la masse volumique de l'olivine est de 3040 $kg/m^3$ et que le taux de remplissage est de 64 % nous en déduisons le volume d'olivine à initialiser et donc la hauteur du lit initiale : 0,3688 m

Le taux de présence de l'olivine dans ce lit est de 0,4.

La figure ci-dessous présente le lit d'olivine à l'instant initial dans la partie basse du combusteur :

 

Injection de char :

Étant donnée l'absence de canne d'injection dans la géométrie 2D, il faut trouver un autre moyen d'injecter le char dans le combusteur. On choisit ici d'initialiser une couche de char dans la partie supérieure du combusteur correspondant à l'injection d'une masse de 10 g de char.

Pour ce faire, on effectue les calculs suivants :

La masse volumique du char étant 740 $kg/m^3$, 10g de char vont occuper 1,35 . $10^{-5} m^3$. En prenant un taux de remplissage égal au taux de compactage maximal soit 0,64 on a $\frac{V_{char}}{V_{total occupé}}=0,64$ soit $V_{total occupé}=2,11 . 10^{-5} m^3 $.

La surface de la base du combusteur est de 0,125 m x 0,1 m soit 0,0125 m².

Il faut donc initialiser le char sur une hauteur de : $\frac{2,11 . 10^{-5}}{0,0125}$ soit 0,001688 m.

Rappelons que cette hauteur correspondrait à un volume de char dans le cas où le taux de présence de celui-ci est de 0,64. Cependant, cette hauteur est plus petite qu'une maille : il va donc être difficile de modéliser la couche de char. On choisit donc de prendre un taux de présence du char de 0,0064 ce qui ramène le calcul de la hauteur à 0,1688 m.

On initialise donc le char sur une hauteur de 0,1688 m. On choisit de se placer entre les cotes 0,50m et 0,688m afin d'observer la chute du char par gravité dans le lit d'olivine.

On effectuera plusieurs simulations pour différentes masses de char injectée :  2, 5 ou 10 g .

Pour l'air, nous sommes partis de l'hypothèse suivante : la vitesse entrante de l'air est égale à la vitesse entrante de char. A partir de là, nous avons pu déterminer le débit d'air entrant grâce à la formule suivante :

$D_{air}=D_{char} \frac{\alpha_{air} \rho_{air}}{\alpha_{char} \rho_{char}}$

Ce qui nous donne :

masse de char (g) débit de char (kg/s) débit d'air (kg/s)
2 0.002 $1.269 .10^{-6}$
5 0.005 $3.17 .10^{-6}$
10 0.01 $6.345 .10^{-6}$

La hauteur de char est recalculée par l'intermédiaire du taux de présence $\alpha_{c}$ du char à l'initialisation :

  • Pour m=10 g $\alpha=0,0064$
  • Pour m=5 g $\alpha=0,0032$
  • Pour m=2 g $\alpha=0,00128$

Simulations

Établissement du lit d'olivine et injection du char :

Nous avons lancé un premier calcul de 10 secondes, afin d'observer le lit fluidisé d'olivine et l'injection du char dans ce lit. On y observe la fluidisation du char :

 

Evolution temporelle de la fraction volumique de char (5 images/minute)

On constate que le char se déverse dans le lit d'olivine et est fluidisé : l'olivine permet donc bien de fluidiser le char.

 

Combustion du char :

Le calcul a ensuite été lancé pendant environ 650 secondes pour observer le dégagement de $CO_2$ due à la combustion du char ainsi que la disparition du char.

La vidéo ci-dessous présente l'évolution de la fraction massique de dioxyde de carbone dans le cas où l'on injecte 10 g de char:

Fraction massique de $CO_2$ pour 16 sec < t < 416 sec (10 images/sec)

On observe la création d'un panache de dioxyde de carbone. Parallèlement à ce dégagement de $CO_2$ la masse de char dans le combusteur diminue : le char réagit donc bien au cours du temps et sa réaction libère du dioxyde de carbone.

On peut noter le taux de transfert de masse maximal $\Gamma_c$ d'une particule de char pour une injection de 10 g de char : il est de l'ordre de $0,35  10^{-2} kg/m³/s $ soit $3,5  g/m³/s$, ce qui signifie que 3,5 g de char sont consommés en 1 seconde (pour un volume de 1 $m^3$). La masse de char disparaissant au cours du temps le taux de transfert de masse va donc lui aussi diminuer.

Analyse des résultats

Le but de notre étude est de comparer les résultats des simulations à ceux obtenus lors de l'expérience d'Harold Maffre au LGC. Nous nous intéresserons plus particulièrement ici :

  • à l'évolution du pourcentage de dioxyde de carbone au cours du temps
  • à l'évolution de la masse de char dans le combusteur au cours du temps (taux de conversion)
  • à l'évolution du diamètre des particules de char au cours du temps

Pour chaque paramètre étudié, nous exploiterons les résultats pour des masses de char injectées de 2, 5 et 10g.

Taux de conversion du char

Le taux de conversion X du char est défini comme suit :

$X=1-\frac{m_c}{m_{c_{tot}}}$

La masse de char est calculée à chaque pas de temps ; la masse totale est la masse de char introduite initialement dans le combusteur. C'est la masse maximale de char qui se trouve dans le combusteur à l'instant initial.
 

Les graphes ci-dessus présentent tout d'abord le taux de conversion du char en fonction du temps obtenus lors de nos simulations pu ceux obtenus précédemment lors des expériences. L'ordonnée du premier graphe a été ramenée à 0.7 afin de permettre une meilleure observation de l'allure de la courbe.

Figure 1 : Evolution du taux de conversion du char en fonction du temps pour différentes masses injectées

Figure 2 : Résultats expérimentaux : évolution du taux de conversion en fonction du temps pour différentes masses injectées

 

On observe une variation du taux de conversion quasiment identique pour chacune des masses injectées. En effet, on observe la même allure et à peu près les mêmes valeurs pour les 3 masses de char injectées. Ceci vient donc valider une des conclusions faites lors des expériences : il y a peu d'effet de la masse de char sur le temps de réaction.

On peut comparer nos résultats des simulations aux résultats expérimentaux : les courbes ont la même allure. Cependant, la courbe expérimentale montre qu'on obtient un taux de conversion de 1 au bout de 500 secondes ce qui signifique que la combustion dure 500 secondes. Or, nos simulations (Figure 1) montrent qu'on n'atteint qu'un taux de conversion de 0.6 au bout de 700 secondes.

Pourcentage en dioxyde de carbone

Le pourcentage massique en dioxyde de carbone à la sortie du combusteur est obtenu grâce à la fraction massique en $CO_{2}$ calculée sur une maille de la dernière section à chaque pas de temps.

 

FIGURE 3 : Résultats des simulations : Evolution du pourcentage de $CO_2$ en fonction du temps

FIGURE 4 : Résultats expérimentaux : Evolution du pourcentage de $CO_2$ en fonction du temps

Les courbes obtenues grâce aux simulations et les courbes expérimentales présentent la même allure. Les ordres de grandeurs sont les mêmes, que ce soit au niveau des valeurs absolues qu'au niveau des valeurs relatives - écarts entre les valeurs pour deux masses différentes -. Cependant, sur la figure 3, le pourcentage en $CO_2$ ne s'annule pas au bout de 700 secondes : la combustion est donc plus longue que ce qu'avait prévu l'expérience. En effet, sur les courbes expérimentales - figure 4 - le pourcentage en dioxyde de carbone est nul au bout d'environ 500 secondes.

Diamètre des particules de char dans le combusteur

Afin d'observer l'évolution temporelle du diamètre des particules de char dans le combusteur on exploite les valeurs du scalaire $Chi_d$. En effet, le diamètre d se relie simplement à $Chi_d$ par l'intermédiaire de la formule $Chi_{d}=({\frac{d_0}{d}})^{\frac{1}{3}}$.

Pour récupérer les données concernant le $Chi_d$, on se place à 15 cm de hauteur (afin de se trouver bien au milieu du lit), soit au niveau de la 14ème maille, et on enregistre les valeurs de $Chi_d$ en fonction du temps sur cette maille. Il suffit ensuite de calculer le diamètre en fonction de $Chi_d$.

Figure 5 : Résultats des simulations : évolution du diamètre en fonction du temps

La figure 5 ci-dessus présente une décroissance quasi-linéaire du diamètre des particules de char. On peut de plus remarquer que cette décroissance est indépendante de la masse de char injectée à l'instant initial. Le diamètre varie entre 3,44 mm et 2,55 mm : il réduit donc d'environ 26 %. 

Afin de vérifier que pour un diamètre de 2,55 mm les particules de char ne se sont pas encore envolées, on calcule la vitesse terminale de chute des particules de diamètres 2,55 mm et on la compare à la vitesse de fluidisation. Si cette vitesse terminale est supérieure à la vitesse de fluidisation, il n'y a pas envolement des particules.

Calculons la vitesse terminale de chute à partir de la formule de Haider et Levenspiel :

$U_t={U_t}^* . [ \frac{{\rho_g}^2}{\mu_{g} (\rho_{p} - \rho_{g}) g } ] $

avec ${U_t}^*={[ \frac{18}{{d_p}^{*2}} + \frac{2,335 - 1,744 \phi}{{d_p}^{*0.5}} ]}^{-1}$

avec $\phi=1$, ${d_p}^*=Ga^{\frac{1}{3}}$ et $G_a=\frac{{d_p}^3 \rho_{g} (\rho_{p}-\rho_{g})g}{{\mu_g}^2}$

En effectuant l'application numérique on trouve une vitesse terminale de chute de 2,3691 m/s. Or, la vitesse de fluidisation est de l'ordre de 0,49 m/s donc la vitesse terminale de chute de particules de diamètre 2,55 mm est nettement supérieure à la vitesse de fluidisation : les particules ne s'envolent pas.

 

Calcul de la constante cinétique de réaction

Nous cherchons à recalculer la valeur de la constante cinétique k à partir des résultats obtenus lors des simulations afin de la comparer à la valeur choisie pour la modélisation ($10^{-3} m^{3}$ de gaz $/m^2$ de solide $/s$).

A partir du taux de conversion il est possible de tracer la figure ci-dessous :

$Résultats des simulations : 1-(1-X)^{\frac{1}{3}} en fonction du temps$

D'après les formules démontrées dans la partie $\href{http://hmf.enseeiht.fr/travaux/bei/beiep/content/g12/introduction-chimie-solide}{\textbf{Introduction à la chimie du solide}}$ on a $\tau=\frac{\rho_{c} R_i}{k_{c} M_{c} C_{O_2}}$ et la pente de la courbe ci-dessus est égale à $\frac{1}{\tau}$.

La pente de la courbe $\frac{1}{\tau}=\frac{0.258}{658}$

On a donc $k_c=\frac{\rho_c R_i}{\tau M_c C_{O_2}}$

En effectuant une application numérique pour $Y_{CO_2}=1$ on trouve : $k_c=1.39 . 10^{-3} m^3$ de gaz$/m²$ de solide $/s$

On retrouve bien une constante cinétique de l'ordre de $10^{-3} m^{3}$ de gaz $/m^2$ de solide $/s$ comme supposé au début du problème.