III. Ecoulement Cisaillé: Approche Volumétrique

Dans un deuxième temps, nous avons étudié un système un peu différent du premier. En effet, dans cette deuxième approche, nous considérons un très petit domaine dans lequel se séroule la diffusion des espèces. Ce domaine est, à l'état initiale, composé uniquement de fer. Les réactifs entrent dans ce système par diffusion. Ce petit volume de fluide, est le seul endroit où la réaction se déroule.

2 Al + 1,5 SiO2 ---> Al2O3 + 1,5 Si

Introduire la réaction chimique

Pour introduire un réaction chimique sous Fluent, nous utilisons l'option "Volumetric reaction" dans l'onglet "Species". Comme nous l'avons fait pour l'aluminium, les trois composants de la réaction doivent être paramétrés dans la section "Material".

A partir de cela, il est nécessaire  d'imposer des conditions limites pour chacune de ces espèces, en terme de fraction massique.

Les coefficients stoechiométrique de la réaction, les ordres des réactifs et des produits ainsi que la nature des réactifs et des produits doivent être renseignés dans l'onglet "Material".

Tableau 6 : Les valeurs utilisées pour définir la réaction

La réaction est indépendante de la pression et nous ne prenons pas en compte la réaction inverse.

La Géométrie

Ici, deux cas ont été considéré. Le premier est le cas où le silicium est le réactif limitant, qui entre dans le volume d'acier liquide par diffusion à partir de "l'interface". Le second cas traite de la situation où l'aluminium est limitant et se diffuse à partir de "l'interface", vers un volume de laitier. Ainsi, la géométrie utilisée poour ces deux cas est la même. Le maillage ne diffère que dans la direction vertical, selon la position de "l'interface" (en haut ou en bas), près duquel le maillage doit être fin.
Pour cette étude, nous utilisons une géométrie d'une hauteur de 2 mm.

Les conditions aux limites

La concentration des réactifs aux conditions limites diffèrent selon le cas étudié, la encore en fonction de la position de "l'interface" dans la géométrie. Dans le cas de l'étude dans le volume d'acier, le silicium entre dans le système par diffusion à l'interface, donc ici à la longueur supérieure du rectangle qui constitue la géométri. Dans le second cas, "l'interface" est situé à la longueur inférieure de la géométrie. Les concentrations aux conditions limites sont décrites dans le tableau montré plus bas.

Tableau 7 : Fraction Massique des espèces pour le cas dans la phase Acier

Tableau 8 : Fraction Massique des espèces pour le cas dans la phase Laitier

Le profil de vitesse imposé à l'entrée comme une "UDF" pour l'acier liquide est le même que celui utilisé dans l'approche surfacique. A l'inverse, le profil de vitesse imposé en entrée du volume de laitier, présent un gradient different. Cette duexième "UDF" est choisie en fonction des valeurs de vitesse à l'interface laitier/acier fournies par l'industriel.

Ordre de la réaction

L'ordre partiel du réactif est donc basé sur le cas étudié. L'ordre est fixé à 1 pour les réactifs limitants et l'ordre 0 est fixé pour les autres réactifs et les produits.

 

Cas Laminaire

En première approche, nous considérons un écoulement laminaire. La vitesse de réaction est déterminée par la loi d'Arrhenius.

$$k_{reac} = k_{0}*exp(-Ea/RT)$$

Le facteur pre-exponentiel k0 et l'energie d'activation Ea sont choisis de manière à trouver un coefficient de réaction (kréac) du même ordre de grandeur que celui calculé dans la partie "Ecoulement Parallele" de notre projet. La température est choisie constante à 1800K. Par conséquent, l'exothermicité ou l'endothermicité de la réaction ne sont pas pris en compte. Dans le contexte industriel, il est en effet peu probable que des réactions mettant en jeu de si petites quantités de matière, aient une influence sur la température globale du système.

Les valeurs choisies sont donc les suivantes:

Tableau 7 : Les valeurs utilisées pour la loi d'Arrhenius

Ce qui nous donne une kréac = 0.001 /sec

 

Résultats et Validation

Les profils de pression dans ce cas étaient similaires à ceux de l'approche surfacique. Même si l'ordre de grandeur diffère, le gradient de pression reste négligeable. Là encore, c'est l'utilisation du modèle de résolution qui entraîne l'apparition de ce gradient.

Cas 1: La phase Laitier

Le profil de vitesse imposé par le nouveau gradient de vitesse dans le laitier, est sensiblement conservé de l'entrée à la sortie.

Figure 28 : Profil de la vitesse à l'entrée et à la sortie du domaine dans cas 1

Figure 29 : Profil de concentration d'aluminium à deux différents sections du domaine

Le profil de concentration de l'aluminium au milieux du domaine (x = 0,5 m) et en sortie (x = 1 m) ne montrent pas de différence. Par conséquent, dans ce cas là, c'est la réaction qui est pré-dominante vis à vis de la diffusion. Le coefficient de transfert de masse est finalement calculé à l'interface à partir de la formule suivante:

$$k_{l} = \frac{D\frac{(\partial Y_{i}}{\partial y})_{y = 0}}{Y_{i,s}-Y_{i,\infty }}$$

La valeur obtenue pour le coefficient de transfert de masse Kl =  5,7.10-5 m/s.

Cas 2 : La phase Acier

Les profils de vitesses montrent ici que le cisaillement en entrée n'est pas conservé. Cela peut se justifier par le fait que la viscosité augmente nettement au voisinage de l'interface, où la réaction se déroule. Afin de résoudre l'équation de continuité, Fluent doit augmenter la vitesse à l'interface pour compenser l'augmentation de la viscosité. C'est la raison pour laquelle les profils de vitesse se déforment par rapport à l'entrée.

Figure 30 : Profil de vitesse à l'entrée et à la sortie du domaine dans le cas 2

Figure 31 : Profil de la viscosité à l'entrée et à la sortie du domaine

Le profil de SiO2 qui es le réactif limitant dans ce cas, est présenté ici. le coefficient de transfert de masse du SiO2 est calculé au voisinage de l'interface.

Figure 32 : Profil de concentration de SiO2 à deux differents sections du domaine

En utilisant le coefficient de diffusion du SiO2 dans l'acier (DSiO2 = 6.10-9 m2/s), on obtient :

Coefficient de transfert de masse de SiO2  = 1,744.10-6 m/s

La valeur obtenue ici est finalement comparé à la prédiction de l'article de (2) A Apelblat. Équation 46 de l'article,

$$\frac{k_{l}}{(k_{reac}D)^{1/2}} = 1 + \frac{\beta ^{-1/2}}{\pi ^{2}} \int_{0}^{\infty } \frac{exp(-uX)du}{u^{2/3}[Ai^{2}(-z_{0}) + Bi^{2}(-z_{0})]}$$

La valeur de kl obtenue pour l'article est de 1,7321.10-6 m/s. La valeur intégrale est trop petite pour un coefficient de diffusion d'ordre 10-9 m2/s. Par conséquent, le kl ne dépend que du kreac et du coefficient de diffusion D. La valeur obtenue avec le simulation de la phase du l'acier est  presque la même valeur que celle calculé pour l'article.

Par contre, la valeur obtenue dans le cas 1 est beaucoup plus grande que la valeur théorique. Ceci peut être expliqué par une condition limite imposé dans le cas 1 qui est différente par rapport à celle imposé dans l'article.