Étude théorique

Dans cette partie, nous allons exploiter les simulations qui ont été faites sur le bloc en entier, en particulier la zone de couche laminaire, pour deux raisons. La première est de s'assurer que notre simulation est bien représentative de la réalité en comparant les résultats numériques à  la théorie, la deuxième raison est de s'assurer que les profils expérimentaux en entrée fournis sur le site d'ercoftac collent bien avec la simulation.

Tout d'abord, nous allons présenter les résultats théoriques concernant la partie laminaire.

Pour déterminer les profils de température et de vitesse théoriquement dans cette couche, nous allons nous baser bien évidemment sur les équations de Navier Stokes en couche limite, avec le modèle de Prandtl.

Ce modèle se base sur les mêmes hypothèses que nous avons mentionnées précédemment (voir http://hmf.enseeiht.fr/travaux/bei/beiep/content/g18/analyse-theorique-et-etude-preliminaire).

Nous obtenons donc les mêmes équations de conservation sauf le terme turbulent qui disparaît dans ce cas.

Conditions aux limites :

Vitesse :

$ \overrightarrow{U} (x,0)= \overrightarrow{0}$

$ u(x, \infty )=0 $

$ u(0,y)=0 $

 

Température :

T(x,0)=Tw ,

$ T(x,\infty)=Ta $

T(0,y)=Ta 

Donc finalement, notre problème est bien fermé.

Pour le résoudre, l'astuce est d'utiliser des variables de similitude qui permettent de passer des trois équations à dérivées partielles, à deux équations différentielles ordinaires.

 La variable de similitude adéquate pour ce cas est  : $ \eta (x,y)= (\frac {Gr_x} {4})^{1/4} \frac {y}{x} $

 Avec $ Gr_x=\frac{\beta g x^3 (T_w-T_a)}{\alpha^2} $.

Pour simplifier la résolution des équations, au lieu de considérer T, u et v , nous allons travailler avec les grandeurs suivantes :

$ \theta(x,y)=\theta(\eta)=\frac{T-T_\infty}{T_s-T_\infty} $

la fonction de courant $ \phi  $ telle que : $ u=\frac{\partial \phi}{\partial y}  $

 et $  v=\frac{\partial \phi}{\partial x}$

Nous pouvons écrire cette fonction de courant de la forme suivante : $ \phi=4 \nu \frac {Gr_x}{4}^{1/4}  \xi(\eta) $

Donc au lieu de travailler avec des EDP dont les inconnues sont u, v et T, nous allons considérer des EDO dont les inconnues sont $\theta$ et $\phi$ qui ne dépendent que de $\eta$.

Les équations ordinaires à résoudre sont :

 $\frac {d^3 \xi}{d \eta^3}+3 \xi \frac {d^2 \xi}{d \eta^2}-2 (\frac {d \xi}{d \eta})^2+ \theta=0 $

$ \frac {d^2 \theta}{d \eta^2}+3 Pr \xi (\frac {d \theta}{d \eta})=0 $

Pour les conditions aux limites, de la même façon, il faut les écrire en fonctions des nouvelles variables $ \xi $, $ \theta $ et $ \eta $.

Nous avons donc affaire à deux équations différentielles ordinaires (non-linéaires), avec les conditions aux limites qu'il faut, nous pouvons les résoudre numériquement facilement (avec matlab par exemple)..

A partir de cette résolution, nous pouvons accéder à des paramètres importants comme le nombre de Nusselt, l'épaisseur de la couche limite, la vitesse maximale en fonction de x, ..etc.

Le nombre de Nusselt :

Par définition du nombre de Nusselt : $ Nu= - \frac {\frac {\partial T}{\partial y} x }{Tw-Ta}$

Ce qui donne après calcul :  $ Nu= (\frac {Gr_x}{4})^{0.25} g(Pr).$

Avec $g(Pr)$=$ \frac {0.75 Pr^{0.5}}{(0.609+1.221 Pr^{0.5}+1.238 Pr)^{1/4}}$

L'épaisseur de la couche limite :

A partir de la définition de cette grandeur, on peut déduire facilement que cette grandeur varie en $ x^{1/4} $ : 

$ \delta (x) = x (\frac{Gr_x}{4})^{0.25}$

La vitesse maximale :

Une autre grandeur intéressante est la vitesse maximale Umax.

Théoriquement, on trouve que $ Umax \approx 0.5 \sqrt{g \beta (Tw-Ta) x} $