Couche limite dans l'air

 

On suppose que l'écoulement d'eau sur le profil d'aile ne modifie pas l'écoulement d'air. Le film de liquide est considéré comme une paroi solide pour la résolution de la couche limite dans l'air. On calcule ainsi le cisaillement exercé par l'air sur la paroi que l'on supposera être le même que celui qui s'exerce sur le film liquide.

 

Etude laminaire : comparaison plaque plane et profil d'aile

 

On résoud d'abord la couche limite laminaire par la méthode intégrale de Karman-Polhausen. Le profil de vitesse à l'extérieur de la couche limite $ U_e (s) $ est donné par le coefficient de pression Cp : $ U_e = U_{\infty} \sqrt{1-C_p} $. On en déduit les facteurs de forme k et $\Lambda$, calculés comme suit : $$ k(s) = \frac{0.47}{U_e^6(s)} \cdot \frac{dU_e}{ds} \int _0 ^s U_e^5(s')ds' $$ $$ \frac{k(s)}{\Lambda (s)} = \left(\frac{37}{315}-\frac{\Lambda (s)}{945} - \frac{\Lambda ^2 (s)}{9072} \right) $$puis l'épaisseur de couche limite $ \delta $ et la contrainte pariétale $ \tau _p $, que l'on calcule avec : $$ \frac{\rho _{air}}{\mu _{air}} \cdot \delta ^2 \cdot \frac{dU_e}{ds} = \Lambda (s) $$ $$ \tau _p = \mu _{air} \left( \frac{\partial U}{\partial y} \right) _{y=0} = \mu _{air} \frac{U_e}{\delta} \left(2+\frac{\Lambda}{6} \right) $$

 

C'est $ \tau _p $ qui nous intéresse pour calculer l'épaisseur du film d'eau.

On compare la couche limite sur notre profil d'aile à la couche limite sur une plaque plane [5].

L'ordre de grandeur entre notre profil et la plaque plane reste le même mais le profil n'est pas tout à fait identique.

Comparaison laminaire/turbulent sur plaque plane

 

Le Reynolds dans la couche limite augmente avec l'abscisse curviligne sur l'aile. Le régime est laminaire proche du point d'arrêt et turbulent ensuite. On considère que la transition se passe autour de $ Re=10^5 $. Nous avons comparé les modèles laminaire et turbulent sur plaque plane, d'après [5].

 

 

Dans le modèle turbulent, l'épaisseur de la couche limite est environ 10 fois supérieur par rapport au modèle laminaire. Il en est de même pour le cisaillement $ \tau _p $.

 

Après un calcul du Reynolds le long du profil, on constate que l'on est en régime laminaire sur environ le 1er tiers des mailles de l'intrados et le 1er sixième des mailles de l'extrados. Par la suite nous avons observé que la zone du film liquide se trouve proche du point d'arrêt car le film est ensuite rapidement évaporé. Le suite de l'étude se fera donc à partir du modèle laminaire.

 

Nous utiliserons pour la suite le modèle de la couche limite laminaire par résolution intégrale de Von Karman-Polhausen. La contrainte pariétale $ \tau _p $ calculée sera utilisée pour l'étude dynamique du film liquide.